Σταθερή συνάρτηση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Σταθερή συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Νοέμ 25, 2009 4:28 pm

'Εστω f: R-> R , μια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε:
\displaystyle{ 
f(x + \frac{1}{n}) = f(x) 
}
για κάθε ρητό αριθμό x, και θετικό ακέραιο n.
Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σταθερή συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 25, 2009 5:24 pm

chris_gatos έγραψε:'Εστω f: R-> R , μια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε:
\displaystyle{ 
f(x + \frac{1}{n}) = f(x) 
}
για κάθε ρητό αριθμό x, και θετικό ακέραιο n.
Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.
Από την υπόθεση εύκολα βλέπουμε ότι

f(0) = f(\frac{1}{n}) = f(\frac{2}{n}) = f(\frac{3}{n}) = ...

και επίσης

... = f(-\frac{3}{n}) =  f(-\frac{2}{n}) = f(-\frac{1}{n})= f(0)

Τελικά βλέπουμε ότι για κάθε ρητό q είναι f(0) = f(q).

Από συνέχεια είναι και f(x) = f(0) για κάθε πραγματικό x.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Antonis Loutraris
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 4:16 pm

Re: Σταθερή συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis Loutraris » Τετ Νοέμ 25, 2009 5:46 pm

Ωραία λύση κ.Λάμπρου.

Στο ίδιο ύφος μία ωραία άσκηση.

Έστω f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{Q} συνεχής. Δείξτε ότι η \displaystyle{f}είναι σταθερή.


Αντώνης Λουτράρης
Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 252
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

Re: Σταθερή συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Τετ Νοέμ 25, 2009 5:49 pm

αν η f οχι σταθερη τοτε το f(\mathbb{R}) θα ειναι διαστημα ,πραγμα ατοπο


Γιάννης
Antonis Loutraris
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 4:16 pm

Re: Σταθερή συνάρτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis Loutraris » Τετ Νοέμ 25, 2009 5:52 pm

Γιάννη γιατί άτοπο?
Για να έχει διδακτικό χαρακτήρα η άσκηση..


Αντώνης Λουτράρης
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1248
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Σταθερή συνάρτηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Νοέμ 25, 2009 6:26 pm

Ας πάρουμε δύο σημεία a,b\in R με f(a)<f(b)(όμοια και αν η ανισότητα έχει την άλλη φορά). Τότε ανάμεσα στους f(a),f(b) υπάρχει άρρητος και αφού ηf είναι συνεχής, θα πρέπει να λαμβάνει αυτή την τιμή, άτοπο. Άρα f(a)=f(b). Τα a,b ήταν τυχαία, άρα έχουμε το ζητούμενο.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Σταθερή συνάρτηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Νοέμ 25, 2009 7:43 pm

chris_gatos έγραψε:'Εστω f: \mathbb{R}\rightarrow  \mathbb{R} , μια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε:
\displaystyle{ 
f(x + \frac{1}{n}) = f(x) 
}
για κάθε ρητό αριθμό x, και θετικό ακέραιο n.
Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.
Από μια κάπως διαφορετική οπτική:
Ας πάρουμε n σταθερό. Τότε η δοθείσα σχέση λόγω της συνεχείας της f μας λέει ότι f(x + \frac{1}{n}) = f(x) για κάθε πραγματικό αριθμό x. Επομένως η f είναι περιοδική με περίοδο κάθε \frac{1}{n}. Αρκεί να δείξουμε, στην ουσία, ότι:
Μία περιοδική συνεχής συνάρτηση που έχει κάθε \frac{1}{n} ως περίοδο είναι σταθερή
Δείχνουμε ότι f(x)=f(0) για κάθε x>0 (ανάλογα για x<0). Aν αυτό δεν ισχύει τότε θα υπάρχει a>0 ώστε f\left( a\right) \neq 0. Θεωρούμε το infimum m των x>0 με f(x)=f(a). Λόγω συνεχείας είναι f(m)=f(a). Είναι m=0. Αυτό διότι αν ήταν m>0 θα είχαμε 0<\frac{1}{n}<m για κάποιο n και επομένως 0<m-\frac{1}{n}<m (άτοπο). Αλλά με m=0 πρέπει f(0)=f(m)=f(a). Πάλι άτοπο.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Σταθερή συνάρτηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Παρ Νοέμ 27, 2009 9:56 am

Ας παραθεσω και εγω μια ακομα σε λιγο πιο γενικο πνευμα,(που ισως μας οδηγησει στην χρηση ενος πολυ ομορφου λημματος) παρτε f συνεχης απο το R στο R, με f(x)=f(x+\sqrt{2})=f(x+\sqrt{3}) για καθε x
και δειξτε οτι ειναι σταθερη! :)


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Σταθερή συνάρτηση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Παρ Νοέμ 27, 2009 10:25 am

...
τελευταία επεξεργασία από Ωmega Man σε Παρ Νοέμ 27, 2009 10:44 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σταθερή συνάρτηση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 27, 2009 10:33 am

Ilias_Zad έγραψε:Ας παραθεσω και εγω μια ακομα σε λιγο πιο γενικο πνευμα,(που ισως μας οδηγησει στην χρηση ενος πολυ ομορφου λημματος) παρτε f συνεχης απο το R στο R, με f(x)=f(x+\sqrt{2})=f(x+\sqrt{3}) για καθε x
και δειξτε οτι ειναι σταθερη! :)

Πολύ ενδιαφέρον. Τα κύρια βήματα είναι

... = f(\sqrt{2}-3\sqrt{3}) =f(\sqrt{2}-2\sqrt{3}) = f(\sqrt{2}-\sqrt{3})=  f(\sqrt{2})=f(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = f(\sqrt{2}+2\sqrt{3})=f(\sqrt{2}+3\sqrt{3})=...

και όλα ίσα με f(0). Όμοια με ανταλλαγή των ρόλων την \sqrt{2} και \sqrt{3}. Τελικά καταλήγουμε πως για κάθε ακέραιους m, n ισχύει

f(0) = f(m\sqrt{2}+n\sqrt{3}).

Τέλος είναι γνωστό ότι τα m\sqrt{2}+n\sqrt{3} είναι πυκνά στο \mathbb R. Πρόκειται για αποτέλεσμα του Dirichlet, και υποθέτω ότι αυτό είναι το ωραίο λήμμα που εννοεί ο Ηλίας.

Φιλικά,

Μιχάλης


Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Σταθερή συνάρτηση

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Παρ Νοέμ 27, 2009 5:28 pm

Πολύ ωραία Κύριε Λάμπρου :)
Για την ακριβεια όμως, αναφερομουν σε ενα ακομα πιο γενικο λήμμα, ειδικό ίσως στο να "σκοτώνει" και τέτοιες ασκήσεις!
Αυτό είναι το εξής:

Καθε υποομαδα (μη τετριμμένη) της προσθετικη ομάδας των πραγματικών ειναι είτε κυκλική είτε πυκνή στο R!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σταθερή συνάρτηση

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 27, 2009 6:35 pm

Ilias_Zad έγραψε: Καθε υποομαδα (μη τετριμμένη) της προσθετικη ομάδας των πραγματικών ειναι είτε κυκλική είτε πυκνή στο R!
Καλό.

Αυτό που είχα κατά νου ήταν η εξής ισοδύναμη μορφή του: Αν x_1, x_2, ... , x_n είναι πραγματικοί αριθμοί γραμμικά ανεξάρτητοι πάνω από το \mathbb Q, τότε το σύνολο \{ m_1x_1 + m_2x_2 + ... + m_nx_n : m_1, m_2, ... , m_n \in \mathbb Z \} είναι πυκνό στο \mathbb R.

Αξίζει εδώ ένα ιστορικό σχόλιο, που με εξέπληξε όταν το πρωτοδιάβασα, όταν ασχολήθηκα με το θέμα.

Την περίπτωση n = 2 την έκανε την εποχή του Μεσαίωνα(!) ο μεγάλος Αριστοτελικός φιλόσοφος, θεωρητικός μηχανικός, αστρονόμος, μαθηματικός και εχθρός της αστρολογίας και των άλλων δεισιδαιμονιών, Nicola Oresme (~1320 - 1380).

Η απόδειξή του είναι μεν στριφνή, όπως συχνότατα βλέπουμε στα κείμενα εκείνης της εποχής, αλλά σωστή. Το θέμα που τον αποσχολούσε ήταν η κυκλική, όπως νόμιζαν τότε,
κίνηση των πλανητών γύρω από την Γη. Στο βιβλίο του Proportionibus proportionum αποδεικνύει το εξής καταπληκτικό θεώρημα:

Αν δύο πλανήτες στην ίδια τροχιά έχουν πηλίκο ταχυτήτων έναν ρητό αριθμό, τότε θα συναντιούνται με περιοδικό ρυθμό σε πεπερασμένο πλήθος σημείων. Αν, αντίθετα, το πηλίκο των ταχυτήτων τους είναι άρρητος, τότε α) δεν θα ξανασυναντηθούν ποτέ δια δεύτερη φορά στο ίδιο σημείο και β) όσο μικρό διάστημα της κοινής τροχιάς τους και αν λάβουμε, θα υπάρξει χρονική στιγμή που οι πλανήτες θα συναντηθούν μέσα σε αυτό.


Αντιλαμβάνεται κανείς ότι το β) δεν λεει τίποτα άλλο παρά την πυκνότητα των σημείων συνάντησης. Η φράση "όσο μικρό διάστημα" είναι, απλούστατα, το ίδιο με το "έστω ε > 0" που λέμε εμείς σήμερα.

Είναι αξιοθαύμαστο πώς, με τα ελάχιστα μέσα που είχε ο Oresme την εποχή του, κατάφερε να επνοήσει, διατυπώσει και να αποδείξη το παραπάνω. Και δεν είναι το μόνο που έκανε, το οποίο ήταν μακριά από την εποχή του. Είναι ο πρώτος που απέδειξε ότι η σειρά Σ 1/ν αποκλίνει. Η απόδειξή του είναι ακριβώς αυτή που διδασκόμαστε σε όλους τους Απειροστικούς Λογισμούς (με ανισότητα λαμβάνοντας 1, 2, 4, 8, ... διαδοχικούς όρους) χωρίς να γνωρίζουμε ότι είναι 600 ετών.

Καλό διάβασμα περί Oresme.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Σταθερή συνάρτηση

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Δευ Νοέμ 30, 2009 7:41 pm

Ilias_Zad έγραψε:Πολύ ωραία Κύριε Λάμπρου :)
...

Καθε υποομαδα (μη τετριμμένη) της προσθετικη ομάδας των πραγματικών ειναι είτε κυκλική είτε πυκνή στο R!
Μήπως γνωρίζεις σε ποια "δομικά" στοιχεία της προσθετικής ομάδας των πραγματικών οφείλεται αυτό?


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Σταθερή συνάρτηση

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Δευ Νοέμ 30, 2009 7:46 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ilias_Zad έγραψε: Καθε υποομαδα (μη τετριμμένη) της προσθετικη ομάδας των πραγματικών ειναι είτε κυκλική είτε πυκνή στο R!
Καλό.

Αυτό που είχα κατά νου ήταν η εξής ισοδύναμη μορφή του: Αν x_1, x_2, ... , x_n είναι πραγματικοί αριθμοί γραμμικά ανεξάρτητοι πάνω από το \mathbb Q, τότε το σύνολο \{ m_1x_1 + m_2x_2 + ... + m_nx_n : m_1, m_2, ... , m_n \in \mathbb Z \} είναι πυκνό στο \mathbb R.
...
Μιχάλης Λάμπρου
Το n παραπάνω υπονοεί αριθμήσιμο πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων πραγματικών;


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σταθερή συνάρτηση

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 30, 2009 8:02 pm

polysot έγραψε:
Το n παραπάνω υπονοεί αριθμήσιμο πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων πραγματικών;
n = πεπερασμένο (= φυσικός αριθμός).


Άβαταρ μέλους
Jeronymo Simonstone
Δημοσιεύσεις: 89
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 09, 2009 8:52 pm

Re: Σταθερή συνάρτηση

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Jeronymo Simonstone » Δευ Δεκ 07, 2009 11:46 pm


Αν δύο πλανήτες στην ίδια τροχιά έχουν πηλίκο ταχυτήτων έναν ρητό αριθμό, τότε θα συναντιούνται με περιοδικό ρυθμό σε πεπερασμένο πλήθος σημείων. Αν, αντίθετα, το πηλίκο των ταχυτήτων τους είναι άρρητος, τότε α) δεν θα ξανασυναντηθούν ποτέ δια δεύτερη φορά στο ίδιο σημείο και β) όσο μικρό διάστημα της κοινής τροχιάς τους και αν λάβουμε, θα υπάρξει χρονική στιγμή που οι πλανήτες θα συναντηθούν μέσα σε αυτό.

Εκπληκτική η διόραση όσων δεν είχαν ...υπολογιστικά πακέτα να σκέφτονται γι΄αυτούς.



Υγ. Αυτό το χωρίο πάντως μου φέρνει στο νού
ένα γνωστό αποτέλεσμα της θεωρίας δυναμικών συστημάτων.

Έστω το σύστημα \{x'=a,y'=b\} επί του διδιάστατου τόρου.
Εστιάζουμε τις τροχιές διά του (0,0).
- Εάν ο λόγος b/a είναι ρητός, τότε όλες οι λύσεις είναι περιοδικές (!) με κοινή περίοδο.
- Εάν ο λόγος b/a είναι άρρητος, τότε κάθε τροχιά είναι πυκνό υποσύνολο (!!) του τόρου.


... :?


\int_{f(x)}^{dx}ab+\frac{1}{k^2}\sum_{k=+\infty}^{1}\frac{1}{\pi^2}=\frac{9}{69}+F(b)- \underbrace{(-( -...-F(a)))}_{2n+1 \ fores}, \ \forall \mathbb{N}\in n
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Σταθερή συνάρτηση

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Τρί Δεκ 08, 2009 1:31 am

polysot έγραψε:
Ilias_Zad έγραψε:Πολύ ωραία Κύριε Λάμπρου :)
...

Καθε υποομαδα (μη τετριμμένη) της προσθετικη ομάδας των πραγματικών ειναι είτε κυκλική είτε πυκνή στο R!
Μήπως γνωρίζεις σε ποια "δομικά" στοιχεία της προσθετικής ομάδας των πραγματικών οφείλεται αυτό?
Πρακτικα στηριζεται στο οτι ειτε θα ειναι διακριτο(discrete) ειτε θα εχει (τουλαχιστον) ενα σημειο συσσωρευσης.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σταθερή συνάρτηση

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 08, 2009 9:36 am

Jeronymo Simonstone έγραψε: επί του διδιάστατου τόρου
Αχχχχ αυτός ο "τόρος". Απόλυτα νεοελληνοβαρβαρική λέξη.

Καλό είναι να χρησιμοποιούμε τον ελληνικό όρο που προϋπήρχε του torus.
Στα αρχαία ελληνικά ονομάζεται "σπείρα". Μελετάται στη Συναγωγή του Πάππου
Επίσης υπήρχε το δυστυχώς χαμένο σήμερα έργο του Αρισταίου με "Σπειρικές τομές".
Το τελευταίο είναι μία από τις μεγάλες απώλειες των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Μελετά τα 8 είδη τομών που μπορεί να έχει μία σπείρα (όχι ένας "τόρος") με επίπεδο.

Το χειρότερο με την έλλειψη μας ελληνικής Παιδείας σε αυτό το θέμα, είναι ότι η λέξη "έλιξ" (όπως π.χ. την αναφέρει και μελετά ο Αρχιμήδης στο Περί ελίκων του) μεταφράζεται από τους ξένους ως spiral. Και πολλοί έλληνες μεταφράζουν την μετάφραση ως σπείρα, και γίνεται το μπάχαλο!

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Jeronymo Simonstone
Δημοσιεύσεις: 89
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 09, 2009 8:52 pm

Re: Σταθερή συνάρτηση

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Jeronymo Simonstone » Τρί Δεκ 08, 2009 11:28 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Jeronymo Simonstone έγραψε: επί του διδιάστατου τόρου
Αχχχχ αυτός ο "τόρος". Απόλυτα νεοελληνοβαρβαρική λέξη.

Καλό είναι να χρησιμοποιούμε τον ελληνικό όρο που προϋπήρχε του torus.
Στα αρχαία ελληνικά ονομάζεται "σπείρα". Μελετάται στη Συναγωγή του Πάππου
Επίσης υπήρχε το δυστυχώς χαμένο σήμερα έργο του Αρισταίου με "Σπειρικές τομές".
Το τελευταίο είναι μία από τις μεγάλες απώλειες των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Μελετά τα 8 είδη τομών που μπορεί να έχει μία σπείρα (όχι ένας "τόρος") με επίπεδο.

Το χειρότερο με την έλλειψη μας ελληνικής Παιδείας σε αυτό το θέμα, είναι ότι η λέξη "έλιξ" (όπως π.χ. την αναφέρει και μελετά ο Αρχιμήδης στο Περί ελίκων του) μεταφράζεται από τους ξένους ως spiral. Και πολλοί έλληνες μεταφράζουν την μετάφραση ως σπείρα, και γίνεται το μπάχαλο!

Φιλικά,

Μιχάλης

"Σπειρικές τομές"; Πρώτη φορά το ακούω. :shock:
Κρίμα, πραγματικά κρίμα, που δεν έχει διασωθεί...




Όσο για τα υπόλοιπα, θα προσυπέγραφα εάν δεν είχα γίνει μάρτυρας ενός αστείου περιστατικού.

Κάποτε είχε επισκεφθεί τα Γιάννενα ένας ελληνιστής ισπανός μαθηματικός, και είχε κανονιστεί να δώσει μια διάλεξη περί ενός γεωμετρικού ζητήματος στα ελληνικά. Είχε λοιπόν συμβουλευθεί κάποιον καθηγητή (λένε, τον Κουτρουφιώτη) για να αποδώσει μερικές έννοιες στην "καθομιλουμένη" ελληνική μαθηματική ορολογία, και κράτησε σημειώσεις συμβουλευόμενος και το λεξικό.

Η διάλεξη ξεκίνησε, και σε κάποιο σημείο άπου στην διάλεξη αναφέρθηκε και στην σπείρα:
"Έστω S^1\times S^1 η ...συμμορία"

:clap2:

ήταν αστείο να προσπαθούν να του εξηγήσουν το σφάλμα... :clap2:



Υγ. Όσο για το θέμα της ορολογίας... Δεν ξέρω αν η "σπείρα" είναι ορθότερο των τόρος/ντόνατ/σαμπρέλα, από την στιγμή που ο πρωτάρης θα συναντήσει ένα από τα τελευταία στην βιβλιογραφία.

Μα θα την χρησιμοποιώ εδώ και στο εξής στο φόρουμ :read:


\int_{f(x)}^{dx}ab+\frac{1}{k^2}\sum_{k=+\infty}^{1}\frac{1}{\pi^2}=\frac{9}{69}+F(b)- \underbrace{(-( -...-F(a)))}_{2n+1 \ fores}, \ \forall \mathbb{N}\in n
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Σταθερή συνάρτηση

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Πέμ Δεκ 17, 2009 9:49 pm

Εμένα μου αρέσει και το "λουκουμάς"...είναι πολύ γλυκό...


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης