Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Νοέμ 26, 2009 8:47 pm

Ένα δικής μου κατασκευής
\displaystyle \int\limits_{ - \infty }^0 {\frac{{1 - x}}{{{x^2} + {e^{2x}}}}dx}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Παρ Νοέμ 27, 2009 12:23 am

:D
Συνημμένα
111.math.jpg
111.math.jpg (25.44 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Νοέμ 27, 2009 8:22 pm

Μχμχμχ...προσπάθησα να βγάλω Ι-4 τις μηχανές υπολογισμού ολοκληρωμάτων αλλά στην αλλαγή μεταβλητής που έκανα για να κρύψω την ιδέα μου ξέχασα να πολλαπλασιάσω με το νέο διαφορικό... :oops: . Διορθώνω την εκφώνηση. Το αυτό έκανα και στο μάθλινκσ
\displaystyle \int\limits_{ - \infty }^0 {\frac{{1 - x}}{{{x^2} + {e^{2x}}}} \cdot {e^x}dx}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 27, 2009 9:23 pm

mathxl έγραψε:Μχμχμχ...προσπάθησα να βγάλω Ι-4 τις μηχανές υπολογισμού ολοκληρωμάτων αλλά στην αλλαγή μεταβλητής που έκανα για να κρύψω την ιδέα μου ξέχασα να πολλαπλασιάσω με το νέο διαφορικό... :oops: . Διορθώνω την εκφώνηση. Το αυτό έκανα και στο μάθλινκσ
\displaystyle \int\limits_{ - \infty }^0 {\frac{{1 - x}}{{{x^2} + {e^{2x}}}} \cdot {e^x}dx}

Αααααα, τώρα αλλάζει. Το είχα προσπαθήσει αλλά δεν το έβγαλα. Από όσα είχα κατασταλάξει στο παρεμφερές ολοκλήρωμα, μπορώ τώρα να κάνω έναν ανορθόδοξο (εκτός σχολείου) αλλά σωστό τρόπο. Μπορούμε τελικά να βρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα.

\displaystyle \int{\frac{{1 - x}}{{{x^2} + {e^{2x}}}} \cdot {e^x}dx} = ... = \frac{-i}{2} \int \left( \frac{e^x+i}{e^x+ix}  - \frac{e^x-i}{e^x-ix}   \right) dx = \\ 
= \frac{-i}{2} ( \log(e^x+ix) - \log(e^x-ix) )+ c   =  \frac{-i}{2} \log \frac{e^x+ix}{e^x-ix} + c

Τώρα, αν σε κάποιον δεν αρέσει η μιγαδική αυτή μορφή (δίκιο θα 'χει) δεν έχει παρά να απλοποιήσει την παράσταση (θα χρειαστεί ο ορισμός του λογαρίθμου μιγαδικού) και όταν το φέρει σε πραγματική μορφή να πει: Είδες, άμα παραγωγίσεις σου δίνει την σωστή απάντηση. Τι φωνάζεις!

Δεν άκανα τις πράξεις από εκεί και πέρα, είναι όμως ρουτίνα. Ωστόσο έβαλα τις τιμές στα όρια της ολοκλήρωσης και βγάζω τιμή π/2. Βασίλη σωστά;

Φιλικά,

Μιχάλης


edit: πρόσθεσα κάποια χ που έλειπαν.


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Νοέμ 27, 2009 9:26 pm

Ναι π/2 αλλά ο τρόπος που σκέφτηκα είναι εντελώς διαφορετικός. Θα τον παρουσιάσω αν δεν "χτυπήσει" ο Σεραφείμ ή κάποιος άλλος συνάδελφος


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 27, 2009 10:07 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:

Δεν άκανα τις πράξεις
Βασίλη,

Τώρα έκανα τις πράξεις. Το αόριστο ολοκλήρωμα βγαίνει αρκετά συμμαζεμένο:
το οποίο έλεγξα με παραγώγιση.

Εννοείται, βλέποντας τώρα την απάντηση, μπορεί εύκολα να επινοήσει κανείς τον τρόπο να εργαστεί. Το αφήνω, γιατί δεν είναι ο τρόπος που εργάστηκα. Πήγα βέβαια μέσω ... Θηβών, αλλά πόσες φορές στα Μαθηματικά δεν λέμε "στρενή μου γνώση να σ' είχα πρώτα"; Τρόπος του λέγειν, την πάτησα γιατί είχα στον νου μου τις αποτυχημένες προσπάθεις που έκανα για το αρχικό ολοκλήρωμα, που δεν έβγαινε.

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Παρ Νοέμ 27, 2009 10:54 pm

:clap2:
Συνημμένα
!!!!.jpg
!!!!.jpg (16.61 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Νοέμ 27, 2009 11:18 pm

Βασικά ήθελα να χρησιμοποιήσω αυτό
{\left[ {\arctan \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right]^\prime } = \frac{1}{{1 + {{\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right]}^2}}} \cdot {\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right]^\prime } = \frac{{f'\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right) + {f^2}\left( x \right)}}

Το πως προέκυψε θα το εξηγήσω στο τέλος

Ύστερα ήθελα να κρύψω όσο μπορούσα τον αριθμητή διαλέγοντας κατάλληλες συναρτήσεις πχ ώστε {f'\left( x \right)g\left( x \right)}=1. Έτσι έβαλα όπου f\left( x \right) = \ln x,g\left( x \right) = x
και σκέφτηκα το ολοκλήρωμα που δίνουν \int\limits_0^1 {\frac{{1 - \ln x}}{{{x^2} + {{\ln }^2}x}}dx}
Με λύπη μου είδα ότι το wolframalpha το δίνει στεγνά και προσπάθησα να το κρύψω αλλάζοντας μεταβλητή. Έθεσα λοιπόν όπου x = {e^u} αλλά ξέχασα να αντικαταστήσω το dx...χωρίς το dx το wolfram δεν έβγαζε τίποτα και χάρηκα αλλά ο Σεραφείμ με τον τρόπο του μου έδειξε ότι κάτι "έφαγα"

Πως μου ήρθε αυτό το πηλίκο; Ήθελα να υπολογίσω αυτό viewtopic.php?f=9&t=3671
Υπέθεσα ότι ο κατασκευαστής σκέφτηκε την \left[ {\arctan \left( {f\left( x \right)ar\cot x} \right)} \right] παραγώγισα και εξίσωσα αλλά με ανεπιτυχή αποτελέσματα :?


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης