Με κόμβους

FERMA · #1

Να δείξετε ότι ένα τρίγωνο του οποίου οι κορυφές είναι κόμβοι δεν μπορεί να είναι ισόπλευρο.

#2

Σίγουρα την έχουμε ξαναδεί πολλές φορές στο φόρουμ. Ας γράψω λύση αντί να την ψάχνω.

Έστω

η πλευρά του τριγώνου και $\displaystyle{(x_i, \, y_i)}$ οι (ακέραιες) συντεταγμένες των κορυφών του.Το εμβαδόν είναι $\displaystyle{E = \frac {1}{2} \begin{vmatrix} 1 & x_1&y_1 \\ 1 &x_2 &y_2 \\ 1& x_3 & y_3 \end{vmatrix} }$ , το οποίο είναι κάποιος ρητός αριθμός. Επίσης το $\displaystyle{a^2= (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$ είναι ρητός. Όμως έχουμε και δεύτερη έκφραση για το εμβαδόν, το οποίο είναι $\displaystyle{E=\frac {1}{4}a^2 \sqrt 3}$ που είναι άρρητος. Άτοπο, και λοιπά.

Υπάρχει και τελείως διαφορετική λύση η οποία βασίζεται στο να θεωρήσουμε το μικρότερο ισόπλευρο τρίγωνο με ακέραιες κορυφές, αν υπάρχει. Αποδεικνύεται απλά ότι οι τετμημένες των κορυφών πρέπει να είναι όλες άρτιοι αριθμοί ή όλοι περιττοί. Το ίδιο και οι τεταγμένες. Αλλά τότε το τρίγωνο που συνδέει τα μέσα των πλευρών είναι ισόπλευρο με ακέραιες συντεταγμένες. Αυτό αντιβαίνει στην υπόθεση ότι το αρχικό τρίγωνο είναι το μικρότερο, ενώ τώρα καταλήξαμε σε κάποιο μικρότερό του. Αφήνω τις λεπτομέρειες.

Φιλικά,

Μιχάλης

FERMA · #3

Ευχαριστώ πολύ για την λύση σας. Εγώ προσπαθούσα να σκεφτώ κάτι που να εμπλέκει την συνάρτηση ακέραιο μέρος αλλά δεν βρήκα κάποια λύση.

#4

Κάπως διαφορετικά: Ας πούμε πως τέτοιο τρίγωνο υπάρχει. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η μία κορυφή του είναι η αρχή

των αξόνων (αλλιώς κάνουμε μία παράλληλη μεταφορά). Ας ονομάσουμε a+bi

μία από τις άλλες δύο κορυφές. Τότε η τρίτη κορυφή θα προκύπτει από αυτήν με περιστροφή γύρω από το

κατά γωνία $\pm \frac{\pi }{3}$ . Άρα θα είναι η $\left( a+bi\right) \left( \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}\right) \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ . Θα πρέπει το πραγματικό και το φανταστικό μέρος αυτού του μιγαδικού να είναι ακέραιοι. Εξισώνοντας τα με δύο ακεραίους

,

καταλήγουμε εύκολα στο άτοπο ότι ο $\sqrt{3}$ είναι ρητός.
Μαυρογιάννης

#5

Παρόμοια με την λύση του Μιχάλη, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το θεώρημα του Pick για να συμπεράνουμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ισούται με n/2

για κάποιον ακέραιο

.

Με κόμβους

Με κόμβους

Re: Με κόμβους

Re: Με κόμβους

Re: Με κόμβους

Re: Με κόμβους

Μέλη σε σύνδεση