Όμορφο γενικευμένο 4.
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Όμορφο γενικευμένο 4.
Να αποδειχθεί ότι
όπου η σταθερά του Catalan http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html
όπου η σταθερά του Catalan http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html
Σεραφείμ Τσιπέλης
-
- Δημοσιεύσεις: 1055
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm
Re: Όμορφο γενικευμένο 4.
Πολύ όμορφο θέμα. Θέτουμε τότε από το θεώρημα Beppo-Levi έχουμε .Επίσης έχουμε .
Από εδώ έχουμε την αναγωγική σχέση .Με μια απλή επαγωγή έχουμε ότι . Από εδώ εύκολα βρίσκουμε ότι συνεπώς .
Άρα .
Για την ακολουθία εύκολα προκύπτει ότι , άρα έχουμε ότι .
Για την σταθερά Catalan ισχύει (Zudilin 2003): .Άρα εύκολα βλέπουμε ότι
,
όπου χρησιμοποιήθηκε ο τύπος . Tελικά έχουμε ότι .
Για την ακολουθία έχουμε ότι , και θέτοντας βρίκουμε ότι η ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση:
και για έχουμε ότι οπότε .
Προφανώς επειδή η σειρά συγκλίνει (επειδή το αρχικό ολοκλήρωμα υπάρχει) από το λήμμα του Abel ισχύει συνεπώς
.Θέτοντας βρίσκουμε και ,
.Άρα προκύπτει ότι .
Τελικά, , επομένως .
Από εδώ έχουμε την αναγωγική σχέση .Με μια απλή επαγωγή έχουμε ότι . Από εδώ εύκολα βρίσκουμε ότι συνεπώς .
Άρα .
Για την ακολουθία εύκολα προκύπτει ότι , άρα έχουμε ότι .
Για την σταθερά Catalan ισχύει (Zudilin 2003): .Άρα εύκολα βλέπουμε ότι
,
όπου χρησιμοποιήθηκε ο τύπος . Tελικά έχουμε ότι .
Για την ακολουθία έχουμε ότι , και θέτοντας βρίκουμε ότι η ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση:
και για έχουμε ότι οπότε .
Προφανώς επειδή η σειρά συγκλίνει (επειδή το αρχικό ολοκλήρωμα υπάρχει) από το λήμμα του Abel ισχύει συνεπώς
.Θέτοντας βρίσκουμε και ,
.Άρα προκύπτει ότι .
Τελικά, , επομένως .
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Re: Όμορφο γενικευμένο 4.
Πολύ όμορφη η λύση σου Κώστα και ιδιαίτερα ο τρόπος που αντιμετώπισες το .. κι εγώ έτσι ξεκίνησα αλλά κόλλησα .. κι άλλαξα πλεύση ..kwstas12345 έγραψε:Πολύ όμορφο θέμα. Θέτουμε τότε από το θεώρημα Beppo-Levi έχουμε ...
Το θέμα μου προέκυψε σαν ενδιάμεσο αποτέλεσμα, ψάχνοντας για ένα άλλο .. στο οποίο όμως ακόμα βρίσκομαι στο μηδέν .. Η δική μου προσέγγιση είναι :
, οπότε
Όμως ισχύει viewtopic.php?f=9&t=12954&hilit=otto , οπότε
και
http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html
Άρα
Σεραφείμ Τσιπέλης
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Mihalis_Lambrou και 6 επισκέπτες