Ἀπόσταση ἀπό κυρτό σύνολο

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Ἔστω $K\subset\mathbb R^n$ κυρτό καί κλειστό. Δείξατε ὅτι ἡ συνάρτηση $g : \mathbb R^n\to K$ , μέ τό g(x)

νά ἀποτελεῖ τό πλησιέστερο στό

σημεῖο τοῦ

, ὁρίζεται καλῶς (δηλαδή ὑπάρχει τἐτοιο g(x)

, καί εἶναι μοναδικό), καί εἶναι συνεχής.

slash · #2

1)
Για κάθε $x\in R^n$ επιλέγουμε περιοχή

η οποία τέμνει το σύνολο

.Ορίζουμε συνάρτηση $f_{x}$ η οποία απεικονίζει ένα σημείο του $V\bigcap{K}$ στην απόσταση του από το

. Επειδή η $f_{x}$ είναι ορισμένη σε συμπαγές σύνολο έχει ελάχιστο.( Το σύνολο είναι συμπαγές ως κλειστό φραγμένο υποσύνολο του R^n

)
Το ελάχιστο αυτό ικανοποιείται για μία μόνο τιμή του χ. Πράγματι ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν $x_{1},x_{2}$ των οποίων οι τιμές μέσω της $f_{x}$ είναι ίσες με την ελάχιστη τιμή. Τότε παίρνοντας το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζεται απο τα $x_{1},x_{2}$ , έστω

, το οποίο λόγω κυρτότητας ανήκει στο σύνολο πάιρνουμε μικρότερη τιμή από την ελάχιστη(άτοπο). Το σημείο στο οποίο λαμβάνεται το ελάχιστο είναι προφανώς το g(x)

.

Επανέρχομαι με το δεύτερο σκέλος...

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Σωστές οἱ ἰδέες, ἀλλά ὑπάρχουν κάποια μικροπροβλήματα:

α. Σέ ποιό συμπαγές σύνολο ἀναφέρεσαι;

β. Γιατί ἡ ἀπόσταση τοῦ

ἀπό τό μέσο τῶν x_1

καί

εἶναι μικρότερη;

kostas_zervos · #4

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Ἔστω $K\subset\mathbb R^n$ κυρτό καί κλειστό. Δείξατε ὅτι ἡ συνάρτηση $g : \mathbb R^n\to K$ , μέ τό νά ἀποτελεῖ τό πλησιέστερο στό σημεῖο τοῦ , ὁρίζεται καλῶς (δηλαδή ὑπάρχει τἐτοιο , καί εἶναι μοναδικό), καί εἶναι συνεχής.

Αν $x\in K$ , τότε g(x)=x

.

Αν $x\in R^{n}-K$ και y_0

ένα τυχαίο σημείο του

.

Θεωρούμε την κλειστή μπάλα $\overline{B}(y_0,r_1)$ , όπου r_1=d(x,y_0)

.

Τότε το $M=K\cap \overline{B}(y_0,r_1)$ είναι κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του R^n

, άρα συμπαγές.

Θεωρούμε την $h:Μ\to [0,+\infty):h(y)=d(y,x)$ .

Αφού το

είναι συμπαγές , η

έχει ελάχιστο για $y_1\in K$ .

Επίσης αν $y_2\in K-M$ (όταν $K-M\neq \emptyset$ ) τότε $d(x,y_2)>r_1\geq h(y_1)$ .

Τότε g(x)=y_1

.

Έστω ότι για $x\in R^n$ έχουμε g(x)=y

και

με $y\neq z$ .

θεωρούμε την κλειστή μπάλα $\overline{B}(x,r)$ , όπου r=d(x,y)=d(x,z)

.

Τα $K,\overline{B}(x,r)$ είναι κλειστά και κυρτά , άρα $K\cap \overline{B}(x,r)$ κλειστό και κυρτό.

Άρα $\dfrac{y+z}{2}\in K$ και το $\dfrac{y+z}{2}$ ανήκει στο εσωτερικό της $\overline{B}(x,r)$ , επομένως $d\left(x,\dfrac{y+z}{2}\right)<r$ που είναι άτοπο , αφού για κάθε $t\in K$ έχουμε $d(x,t)\geq r$ .

Για την συνέχεια νομίζω ότι θα πρέπει για την

να ισχύει η συνθήκη Lipschitz. Έτσι φαίνεται από ένα πρόχειρο σχήμα στον R^2

. Θα το κοιτάξω...

slash · #5

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Σωστές οἱ ἰδέες, ἀλλά ὑπάρχουν κάποια μικροπροβλήματα:

α. Σέ ποιό συμπαγές σύνολο ἀναφέρεσαι;

β. Γιατί ἡ ἀπόσταση τοῦ ἀπό τό μέσο τῶν καί εἶναι μικρότερη;

α. Στο $\bar{V}\bigcap{K}$ , παράλειψη μου.
β. Το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα $x,x_{1}$ είναι υποτείνουσα στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από τα $x,x_{1},y$ και συνεπώς μεγαλύτερη από τη κάθετη πλευρά που ορίζεται από τα x,y

. To ίδιο για το $x_{2}$ .

Γ.-Σ. Σμυρλής · #6

Ἀπομένει νά δειχθεῖ ἡ συνέχεια τῆς

.

slash · #7

Ξεχάστηκε αυτό το θέμα. Όσο αναφορά τη συνέχεια :
Δείχνουμε ότι η

είναι συνεχής στο τυχαίο σημείο

. Θεωρούμε μια τυχαία ${\delta}$ -περιοχή του

. Τότε για κάθε $y\in B_{\delta}(x)$ έχουμε :
$d(y,g(y))\leq d(y,g(x))<d(x,g(x))+{\delta}$ και
$d(y,g(y)) \geq d(x,g(y))-{\delta}>d(x,g(x))-{\delta}$
Άρα : $|d(y,g(y))-d(x,g(x))|<{\delta}$ . (1)
Ας υποθέσουμε τώρα ότι υπάρχει $\epsilon>0$ ώστε για κάθε $\delta$ να υπάρχει σημείο $y_{\delta}\in B_{\delta}(x)$ με $g(y_{\delta})\in (B_{\epsilon}(g(x)))^c$ .
$d(y_{\delta},g(y_{\delta}))>d(x,g(y_{\delta}))-{\delta}>\sqrt{d(x,g(x))^2+{\epsilon}^2}-{\delta}>d(x,g(x))+{\delta}$ για ${\delta}<\frac{\sqrt{d(x,g(x))^2+{\epsilon}^2}-d(x,g(x))}{2}$ που αντιβαίνει στην (1).

Για να δει κανείς την ανισότητα $d(x,g(y_{\delta}))>\sqrt{d(x,g(x))^2+{\epsilon}^2}$ αρκεί να παρατηρήσει τα εξής :
Το εφαπτόμενο υπερεπίπεδο της σφαίρας με κέντρο $B_{d(x,g(x))}(x)$ στο σημείο g(x)

χωρίζει τον χώρο μας σε δύο υποσύνολα με το

να περιέχεται σε αυτό που δεν ανήκει το

. Πράγματι αν στο υποσύνολο που ανήκει το

άνηκε και ένα σημείο του

τότε λόγω κυρτότητας θα υπήρχε σημείο του

στο ευθύγραμμο τμήμα [x,g(x)]

που άνηκε στο εσωτερικό της σφαίρας $B_{d(x,g(x)}(x)$ (άτοπο). Με ένα σχήμα φαίνεται καθαρά αυτό.

Ἀπόσταση ἀπό κυρτό σύνολο

Ἀπόσταση ἀπό κυρτό σύνολο

Re: Ἀπόσταση ἀπό κυρτό σύνολο

Re: Ἀπόσταση ἀπό κυρτό σύνολο

Re: Ἀπόσταση ἀπό κυρτό σύνολο

Re: Ἀπόσταση ἀπό κυρτό σύνολο

Re: Ἀπόσταση ἀπό κυρτό σύνολο

Re: Ἀπόσταση ἀπό κυρτό σύνολο

Μέλη σε σύνδεση