Σειρά 3.

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Σειρά 3.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Νοέμ 12, 2013 11:39 pm

Να βρεθεί : \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\cos \left( {n\pi /3} \right)}}{{{n^2}}}} }


Σεραφείμ Τσιπέλης
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Σειρά 3.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Νοέμ 13, 2013 1:51 am

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)}{n^2}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-\cos\left(n\frac{\pi}{3}\right)}{n^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{6}\right)^{2}}{n^2}+\zeta(2)=-\pi\left(\frac{\pi}{6}\right)+\left(\frac{\pi}{6}\right)^2+\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi ^2}{36}}

Θεώρησα γνωστό ότι \displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\sin(n\cdot x )^2}{n^2}=\pi x}.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
Zarifis
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 15, 2011 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια

Re: Σειρά 3.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Zarifis » Τετ Νοέμ 13, 2013 6:36 am

Αλλιώς αντικαθιστώντας το \displaystyle{\cos (n\pi /3) = \frac{{{{({e^{i\pi /3}})}^n} + {{({e^{ - i\pi /3}})}^n}}}{2}} προκύπτει: \displaystyle{R.H.S.=\frac{{L{i_2}({e^{i\pi /3}}) + L{i_2}({e^{ - i\pi /3}})}}{2}} όπου \displaystyle{Li_2} είναι η dilogarithm function.
Χρησιμοποιώντας το Kummers relation έχουμε: \displaystyle{R.H.S. = \zeta (2) - \pi /3(2\pi  - \pi /3) = \frac{{{\pi ^2}}}{{36}}}


Τι νόημα έχει το όνειρο χωρίς μικρές νοθείες...
Νίκος Ζαρίφης-ΗΜΜΥ
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Σειρά 3.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Νοέμ 13, 2013 7:50 am

:clap2: :clap2:
Σχεδόν όμοια με τον Νίκο Ζαρίφη .. χωρίς το Kummers Relation, αλλά με αποδειγμένες διλογαριθμικές ταυτότητες.

\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\cos \left( {n\pi /3} \right)}}{{{n^2}}}}  = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{in\pi /3}} + {e^{ - in\pi /3}}}}{{{n^2}}}}  = \frac{1}{2}\left( {L{i_2}\left( {{e^{i\pi /3}}} \right) + L{i_2}\left( {{e^{ - i\pi /3}}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {L{i_2}\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + L{i_2}\left( {\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right) = }

\displaystyle{ = \mathop  = \limits^{\big{z = \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}  = \frac{1}{2}\left( {L{i_2}\left( z \right) + L{i_2}\left( {1 - z} \right)} \right)} .

Όμως \displaystyle{L{i_2}\left( z \right) + L{i_2}\left( {1 - z} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \log \left( z \right)\log \left( {1 - z} \right)} viewtopic.php?f=9&t=12954&p=83850&hilit=otto#p83850 (σχέση \displaystyle{2} στο πρόβλημα \displaystyle{9} ).

Οπότε \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\cos \left( {n\pi /3} \right)}}{{{n^2}}}}  = \frac{1}{2}\left( {L{i_2}\left( z \right) + L{i_2}\left( {1 - z} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{6} - \log \left( z \right)\log \left( {1 - z} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{6} - \log \left( {{e^{i\pi /3}}} \right)\log \left( {{e^{ - i\pi /3}}} \right)} \right) = }

\displaystyle{ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{6} - \left( {i\frac{\pi }{3}} \right)\left( { - i\frac{\pi }{3}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{{{\pi ^2}}}{9}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{{36}}}



Σεραφείμ Τσιπέλης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12132
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σειρά 3.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 13, 2013 10:33 am

Σεραφείμ έγραψε:Να βρεθεί : \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\cos \left( {n\pi /3} \right)}}{{{n^2}}}} }
Ίσως ο ευκολότερος τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι, γενικότερα, έχουμε την σειρά Fourier

\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\cos \left( {nx} \right)}}{{{n^2}}}}= \frac {3x^2-6\pi x + 2\pi ^2}{12}, \, 0<x< 2\pi }.

Για x=\frac {\pi}{3} δίνει ότι η ζητούμενη ισούται με \frac {\pi ^2}{36}.

Η απόδειξη των παραπάνω είναι απλή, και υπάρχει σε όλα τα βιβλία σειρών Fourier. Ο στάνταρ τρόπος εύρεσης (αν δεν ξέρουμε ποιας συνάρτησης να βρούμε την σειρά Fourier) είναι με όρο προς όρο παραγώγιση και χρήση του θεωρήματος Abel.

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Σειρά 3.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Νοέμ 13, 2013 1:17 pm

Ο τύπος που δόθηκε απ’ τον Μιχάλη είναι όντως εξαιρετικός. Μια απόδειξή του με διλογαριθμικές συναρτήσεις βασίζεται στο ότι ισχύει

\displaystyle{L{i_2}\left( { - z} \right) + L{i_2}\left( { - \frac{1}{z}} \right) =  - \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{1}{2}{\log ^2}\left( z \right)} viewtopic.php?f=9&t=12954&p=83850&hilit=otto#p83850 (σχέση \displaystyle{1}, πρόβλημα \displaystyle{9} ).

Τακτοποιώντας και τα ορίσματα έχουμε \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\cos \left( {nx} \right)}}{{{n^2}}}}  = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{inx}} + {e^{ - inx}}}}{{{n^2}}}}  = \frac{1}{2}\left( {L{i_2}\left( {{e^{ix}}} \right) + L{i_2}\left( {{e^{ - ix}}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {L{i_2}\left( {{e^{ix}}} \right) + L{i_2}\left( {\frac{1}{{{e^{ix}}}}} \right)} \right) = }

\displaystyle{ = \frac{1}{2}\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{1}{2}{{\log }^2}\left( { - {e^{ix}}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{1}{2}{{\log }^2}\left( {{e^{i\left( {x - \pi } \right)}}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{1}{2}{{\left( {i\left( {x - \pi } \right)} \right)}^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{6} + \frac{1}{2}{{\left( {x - \pi } \right)}^2}} \right) = \frac{{3{x^2} - 6\pi x + 2{\pi ^2}}}{{12}}}


Σεραφείμ Τσιπέλης
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Σειρά 3.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Τετ Νοέμ 13, 2013 2:02 pm

Ας δούμε άλλη μια λύση για την αρχική:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos\left(n\pi/3 \right)}{n^2}}=\frac{1}{9}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\left(-1 \right)^n}{n^2}}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left(-1 \right)^n}{\left(3n+1 \right)^2}}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left(-1 \right)^n}{\left(3n+2 \right)^2}}

και έυκολα παρατηρούμ ότι \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(3n+1)^2}}=\frac{1}{36}\left(\psi ^{\left(1 \right)}\left(1/6 \right)-\psi ^{\left(1 \right)}\left(2/3 \right) \right),\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(3n+2)^2}}=\frac{1}{36}\left(\psi ^{\left(1 \right)}\left(1/3 \right)-\psi ^{\left(1 \right)}\left(5/6 \right) \right).

Άρα το άθροισμα ισούται με \displaystyle \frac{\pi^2}{108}+\frac{1}{72}\left( \psi ^{\left(1 \right)}\left(\frac{1}{6} \right)+\psi ^{\left(1 \right)}\left(\frac{5}{6} \right)-\psi ^{\left(1 \right)}\left(\frac{1}{3} \right)-\psi ^{\left(1 \right)}\left(\frac{2}{3} \right)\right).

Όμως \displaystyle  \psi ^{\left(1 \right)}\left(z \right)+\psi ^{\left(1 \right)}\left(1-z \right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\left(z+n \right)^2}}=-\left(\frac{\pi}{\tan\left(\pi z \right)} \right)'=\frac{\pi^2}{\sin^2\left(\pi z \right)}, άρα προκύπτει άμεσα το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες