Ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

mostel
Δημοσιεύσεις: 50
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 5:10 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mostel » Σάβ Φεβ 07, 2009 5:28 pm

Μια άσκηση που με παίδεψε αρκετά... Να υπολογιστεί το:

\displaystyle{\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}

Ίσως υπάρχει κάτι προφανές που δεν το είδα εξ' αρχής.


We are the sultans of Swing...

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Φεβ 07, 2009 6:19 pm

Δεν νομίζω ότι είναι αυτό που θες, αλλά ποστάρω μία λύση
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 I = \int {\frac{1}{{1 + \sqrt x  + \sqrt {x + 1} }}dx}  = \int {\frac{{1 + \sqrt x  - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {1 + \sqrt x } \right)^2  - \left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2 }}dx}  = \int {\frac{{1 + \sqrt x  - \sqrt {x + 1} }}{{2\sqrt x }}dx = }  \\  
  = \int {\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{x + 1}}{x}} } \right)dx = } \sqrt x  + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\int {\sqrt {1 + \frac{1}{x}} dx}  \\  
 \end{array}} τώρα εάν θέσεις \displaystyle{\sqrt {1 + \frac{1}{x}}  = u,dx =  - \frac{{2u}}{{\left( {u^2  - 1} \right)^2 }}du} και κάνεις ανάλυση σε απλά κλάσματα (πράγμα κουραστικό) τελείωσες


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Φεβ 07, 2009 6:41 pm

Το τελευταίο ολοκλήρωμα \displaystyle{\int {\sqrt {1 + \frac{1}{x}} dx} } υπολογίζεται πιο εύκολα αλλά εκτός σχολικής ύλης εάν θέσουμε \displaystyle{x = \varepsilon \phi ^2 t}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2330
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Φεβ 07, 2009 6:48 pm

Το ολοκλήρωμα το προσέγγισα ως εξής:
Θέτω αρχικά \sqrt x  = u οπότε έχουμε dx = 2udu
Και το αρχικό ολοκλήρωμα Ι μετασχηματίζεται:
I = \int {\frac{{2u}}{{1 + u + \sqrt {u^2  + 1} }}du}

Στην συνέχεια ξαναθέτω \sqrt {u^2  + 1}  = t - u
Από όπου προκύπτει:
u = \frac{{t^2  - 1}}{{2t}} , \sqrt {u^2  + 1}  = \frac{{t^2  + 1}}{{2t}} και du = \frac{{t^2  + 1}}{{2t^2 }}dt
Και το ολοκλήρωμα γίνεται
\int {\frac{{2\frac{{t^2  - 1}}{{2t}}}}{{1 + \frac{{t^2  - 1}}{{2t}} + \frac{{t^2  + 1}}{{2t}}}} \cdot \frac{{t^2  + 1}}{{2t^2 }}dt}
που μετά από πράξεις με το ενδεχόμενο να έχω κάνει λάθος να είναι σχεδόν βέβαιο
έχουμε:
\int {(\frac{1}{2} - \frac{1}{{2t}} + \frac{1}{{2t^2 }} - \frac{1}{{2t^3 }})dt} που εύκολα υπολογίζεται.


Ίσως με τριγωνομετρική αντικατάσταση βγει ευκολότερα, θα το κοιτάξω και αν το καταφέρω τα ξαναλέμε……


Καρδαμίτσης Σπύρος
iolis
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Τετ Δεκ 24, 2008 8:10 pm

Re: Ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από iolis » Κυρ Φεβ 08, 2009 12:22 am

Αυτό βγάζει ο online integrator του Mathematica


Γιάννης Λιαδής
mostel
Δημοσιεύσεις: 50
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 5:10 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mostel » Κυρ Φεβ 08, 2009 2:02 am

Ακριβώς γι' αυτό το λόγο το έβαλα στο AEI thread. Η λύση μου είναι πάνω-κάτω ίδια με του mathxl, αλλά για να 'μαι ειλικρινής, ευελπιστούσα ότι θα υπήρχε ένας συντομότερος τρόπος.... Οποιεσδήποτε ιδέες καλοδεχούμενες :)



Στέλιος


We are the sultans of Swing...
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Φεβ 08, 2009 4:21 pm

Στέλιο δεν πρόσεξα ότι ήταν στο ΑΕΙ, οπότε δες και αυτό με την εφαπτομένη στο τετράγωνο
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 I = \sqrt x  + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{\eta \mu t}} \cdot \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu ^2 t}}dt = } \sqrt x  + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\varepsilon \varphi t \cdot \frac{1}{{\eta \mu t}} - \frac{1}{2}\int {\varepsilon \varphi t \cdot \frac{{\sigma \upsilon \nu t}}{{\eta \mu ^2 t}}dt = }  \\  
  = \sqrt x  + \frac{1}{2}x - \frac{1}{{2\sigma \upsilon \nu t}} - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{\eta \mu t}}dt = } \sqrt x  + \frac{1}{2}x - \frac{1}{{2\sigma \upsilon \nu t}} - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{2\eta \mu \frac{t}{2} \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{t}{2}}}dt = }  \\  
  = \sqrt x  + \frac{1}{2}x - \frac{1}{{2\sigma \upsilon \nu \left( {\tau o\xi \varepsilon \phi \sqrt x } \right)}} - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{2\varepsilon \phi \frac{t}{2} \cdot \sigma \upsilon \nu ^2 \frac{t}{2}}}dt = }  \\  
 \end{array}}
\displaystyle{\begin{array}{l} 
  = \sqrt x  + \frac{1}{2}x - \frac{1}{{2\sigma \upsilon \nu \left( {\tau o\xi \varepsilon \phi \sqrt x } \right)}} - \frac{1}{2}\ln \left| {\varepsilon \phi \frac{t}{2}} \right| + c =  \\  
  = \sqrt x  + \frac{1}{2}x - \frac{1}{{2\sigma \upsilon \nu \left( {\tau o\xi \varepsilon \phi \sqrt x } \right)}} - \frac{1}{2}\ln \left| {\varepsilon \phi \left( {\frac{{\tau o\xi \varepsilon \phi \sqrt x }}{2}} \right)} \right| + c \\  
 \end{array}}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 3 επισκέπτες