μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Δεκ 23, 2009 12:36 am

I = \displaystyle \int\limits_0^1 {\sqrt {\frac{x}{{1 - x}}} dx}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12509
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 23, 2009 1:35 am

mathxl έγραψε:I = \displaystyle \int\limits_0^1 {\sqrt {\frac{x}{{1 - x}}} dx}
x=cos^2y. Δουλεύει και για το αόριστο.


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Δεκ 23, 2009 2:10 am

mathxl έγραψε:I = \displaystyle \int\limits_0^1 {\sqrt {\frac{x}{{1 - x}}} dx}
Κάνοντας αλλαγή μεταβλητής \displaystyle t=\sqrt{\frac{1-x}{x}}, έχουμε ότι

\displaystyle -\frac{2}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt=\sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx και x=0\to t=+\infty, x=1\to t=0.

Συνεπώς

\displaystyle I=-2\int_{+\infty}^{0}\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt=2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt. Όμως

\displaystyle2\int\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt=2\int\frac{1}{t^{2}+1}-\frac{t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}\,dt=

\displaystyle2\int\frac{1}{t^{2}+1}\,dt+\int t\Big(\frac{1}{t^{2}+1}\Big){'}\,dt=2\int\frac{1}{t^{2}+1}\,dt+\frac{t}{t^{2}+1}-\int\frac{1}{t^{2}+1}\,dt=

\displaystyle\arctan t+\frac{t}{t^{2}+1}+c. Επεται ότι

\displaystyle I=\Big(\arctan t+\frac{t}{t^{2}+1}\Big)\Big|_{0}^{+\infty}=\frac{\pi}{2}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Δεκ 23, 2009 12:55 pm

Πολύ ευκολότερα, σύμφωνα με την υπόδειξη του Δάσκαλου :

\displaystyle I\mathop=\limits_{dx=-2\cos y\sin y}^{x=\cos^{2}y}=\Big(\frac{sin2y}{2}+y\Big)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 18

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Δεκ 23, 2009 1:05 pm

Λίγο ανορθόδοξα,
\displaystyle \int_{0}^{1}x^{1/2}(1-x)^{-1/2}\;\;\textrm{d}x=\int_{0}^{1}x^{3/2-1}(1-x)^{1/2-1}\;\;\textrm{d}x=\textrm{B}(3/2,1/2)=\pi/2. Όπου \textrm{B} η συνάρτηση βήτα.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης