Συνημίτονο

Καραδήμας · #1

Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\int_0^{\pi }\cos (kt){\rm sign} (\cos (nt))\,dt=0}$ για κάθε $k=0,1,\ldots ,n-1$ .

#2

Για $k \neq 0$ , το ολοκλήρωμα ισούται με

$\displaystyle{\sum_{r=0}^{n-1} \int_{r \pi/2n}^{(r+1) \pi/2n} \cos{(kt)} sgn(\cos{(nt)}) \; dt = \frac{1}{k} \sum_{r=0}^{2n-1} a_r \left(\sin\left(\frac{(r+1)\pi k}{2n}\right) - \sin\left(\frac{r\pi k}{2n}\right)\right)}$

όπου a_r = 1

αν $r \equiv 0,3 \bmod 4$ και a_r = -1

αν $r \equiv 1,2 \bmod 4$ .

Άρα το ολοκλήρωμα ισούται με

$\displaystyle{ \frac{2}{k} \sum_{\ell = 0}^{n-1} (-1)^{\ell} \sin\left(\frac{(2\ell + 1)k \pi}{2n} \right) = \frac{2}{k} Im\left( \sum_{\ell = 0}^{n-1} (-1)^{\ell} e^{(2\ell + 1)k \pi i/2n} \right) = \frac{2}{k} Im\left(e^{k \pi i/2n} \sum_{\ell = 0}^{n-1} \left(-e^{k \pi i/n} \right)^{\ell}\right)}$

Το τελευταίο ισούται με 0 αν ο

είναι άρτιος αλλιώς ισούται με

$\displaystyle{ \frac{2}{k} Im\left( \frac{2e^{k \pi i/2n}}{1 + e^{k \pi i /n}} \right) = 0}$

Για k=0

το ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{ \sum_{r=0}^{2n-1} a_r = 0}$

(Η ίδια απόδειξη δείχνει ότι το ολοκλήρωμα ισούται με 0 για κάθε ακέραιο $k \neq (2r+1)n$ .)

Καραδήμας · #3

Αυτό τώρα έχει σχέση με το άλλο το πρόβλημα για το ελάχιστο του $\displaystyle{\int_{-1}^1|x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0|\,dx.}$

Συνημίτονο

Συνημίτονο

Re: Συνημίτονο

Re: Συνημίτονο

Μέλη σε σύνδεση