Μεταθέσεις

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Μεταθέσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Τρί Ιαν 05, 2010 2:01 am

Δίνονται n\geq 10 και a_1,\ldots ,a_n\in {\mathbb R} και x_1,\ldots ,x_n\in {\mathbb R} με \displaystyle{\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^nx_i=0.} Να δειχτεί ότι \displaystyle{\frac{1}{n!}\sum_{\tau \in S_n}\left (\sum_{i=1}^na_ix_{\tau (i)}\right )^2=\frac{1}{n-1}\left (\sum_{i=1}^na_i^2\right )\left (\sum_{i=1}^nx_i^2\right )} και \displaystyle{\frac{1}{n!}\sum_{\tau\in S_n}\left (\sum_{i=1}^na_ix_{\tau (i)}\right )^4\leq\frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^na_i^4\right )\left (\sum_{i=1}^nx_i^4\right )+5\left ( \frac{1}{n!}\sum_{\tau\in S_n}\left (\sum_{i=1}^na_ix_{\tau (i)}\right )^2\right )^2.} Τα αθροίσματα είναι πάνω από όλες τις μεταθέσεις \tau του \{ 1,\ldots ,n\}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8484
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μεταθέσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιαν 14, 2010 7:51 pm

Για την ισότητα, ο συντελεστής του x_1^2 στο αριστερό μέλος είναι \displaystyle{ \frac{(n-1)!}{n!}\sum a_i^2 }. Ο συντελεστής του x_1 x_2 είναι \displaystyle{ 2\frac{2!(n-2)!}{n!} \sum_{i \neq j} a_i a_j }

Αλλά \displaystyle{ \displaystyle{ 2\sum_{i \neq j} a_i a_j = \left(\sum a_i \right)^2 - \left(\sum{a_i^2} \right)  = - \sum{a_i^2}}}

Άρα απο συμμετρία το αριστερό μέλος ισούται με

\displaystyle{ \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n(n-1)} \right) \left( \sum a_i^2 \right) \left( \sum x_i^2 \right) = \frac{1}{n-1} \left( \sum a_i^2 \right) \left( \sum x_i^2 \right)}

Για την ανισότητα αυτά που είχα γράψει ήταν λανθασμένα.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8484
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μεταθέσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιαν 15, 2010 12:31 pm

Βάζω μια λύση και για την ανισότητα. Η απόδειξή μου θα ισχύει για n αρκετά μεγάλο. (Πόσο μεγάλο δεν έλεγξα. Ίσως να δουλεύει και για n \geqslant 10.)

Από την ισότητα το δεξί μέλος ισούται με \displaystyle{\frac{1}{n} \left( \sum a_i^4 \right)\left( \sum x_i^4 \right) + \frac{5}{(n-1)^2} \left( \sum a_i^2 \right)^2 \left( \sum x_i^2 \right)^2}

Ελέγχοντας συντελεστές όπως και στην απόδειξη της ισότητας, βρίσκουμε ότι το αριστερό μέλος ισούται με

\displaystyle{ \frac{1}{n} \left( \sum a_i^4 \right) \left( \sum x_i^4 \right) + \frac{4}{n(n-1)} \left( \sum a_i^3 a_j \right) \left( \sum x_i^3 x_j \right) + \frac{24}{n(n-1)(n-2)} \left( \sum a_i^2 a_j a_k\right) \left( \sum x_i^2 x_j x_k \right) }

\displaystyle{+ \frac{12}{n(n-1)} \left( \sum a_i^2 a_j^2 \right) \left( \sum x_i^2 x_j^2 \right) +\frac{24}{n(n-1)(n-2)(n-3)} \left( \sum a_ia_ja_ka_{\ell}\right) \left( \sum x_ix_jx_kx_{\ell}\right) }

Έστω \lambda,\mu τέτοια ώστε \displaystyle{ \sum a_i^4 = \lambda \left( \sum a_i^2 \right)^2} και \displaystyle{ \sum x_i^4 = \mu \left( \sum x_i^2 \right)^2}. Από Cauchy-Schwarz έχουμε 1/n \leqslant \lambda,\mu \leqslant 1.

Έχουμε \displaystyle{ \sum a_i^3 a_j = -\sum a_i^4 = -\lambda \left(\sum a_i^2 \right)^2} και \displaystyle{ \sum a_i^2 a_j^2 = \frac{1}{2} \left( \left(\sum a_i^2\right)^2 - \sum a_i^4 \right) = \frac{1}{2}(1 - \lambda)\left(\sum a_i^2\right)^2 }

Επίσης, \displaystyle{  \left| \sum a_i^2 a_j a_k  \right| \leqslant O(|\sum a_i^3 a_j| + \sum a_i^2 a_j^2) = O(\sum a_i^2 a_j^2)} και \displaystyle{\left| \sum a_ia_ja_ka_{\ell} \right| = O(\left| \sum a_i^2 a_j a_k  \right|) = O(\sum a_i^2 a_j^2) }

Από συμμετρία έχουμε τα ίδια αποτελέσματα για τα αθροίσματα των x_i. Άρα το αριστερό μέλος ισούται με

\displaystyle{ \frac{1}{n} \left( \sum a_i^4 \right) \left( \sum x_i^4 \right) + \left(\frac{4}{n(n-1)}\lambda \mu + \frac{3}{n(n-1)}(1-\lambda)(1-\mu) + O(1/n^3) \right)\left( \sum a_i^2 a_j^2 \right) \left( \sum x_i^2 x_j^2 \right) }

Επειδή 4\lambda \mu + 3(1-\lambda)(1-\mu) = 7(\lambda - 3/7)(\mu - 3/7) + 3-9/7 μεγιστοποιείται όταν \lambda = \mu =1 παίρνουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα. (Όπου στην θέση του 5 μπορούμε να έχουμε 4 + \varepsilon αρκεί το n να είναι αρκετά μεγάλο.)


Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: Μεταθέσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Σάβ Ιαν 16, 2010 2:20 pm

Πάρα πολύ ωραία απόδειξη. Ναι, το 5 και το n\geq 10 είναι ενδεικτικά. Μια εφαρμογή τώρα: να πάρουμε το φυσιολογικό μέτρο πιθανότητας \mu_n στην S_n με \mu_n(\{\tau \})=\frac{1}{n!}. Δίνονται n\geq 10 και x_1,\ldots ,x_n\in {\mathbb R} τέτοιοι που x_1+\cdots +x_n=0. Να δειχτεί ότι, για κάθε t_1,\ldots ,t_n\in {\mathbb R}, \displaystyle{\mu_n\left (\left\{ \tau\in S_n:\sum_{i=1}^nt_ix_{\tau (i)}\geq 0\right\}\right )\geq \frac{1}{20+5X}} όπου \displaystyle{X=\frac{n\sum_{i=1}^nx_i^4}{\left (\sum_{i=1}^nx_i^2\right )^2}.}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες