μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 21

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 21

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Ιαν 10, 2010 2:36 am



Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 21

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Κυρ Ιαν 10, 2010 11:32 am

:clap2: :clap2:
Συνημμένα
!! 4.jpg
!! 4.jpg (29.78 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
lemonidas
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 10, 2010 11:09 am

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 21

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lemonidas » Κυρ Ιαν 10, 2010 11:36 am

Χμμ.. Πρώτο ποστ για μένα (αφού με έψησε ο Ηλίας με τα δικά του.. :roll: )

Έχουμε λοιπόν:

\frac {x^3}{e^x-1}=\frac{e^{-x} x^3} {1-e^{-x}} = e^{-x} x^3  \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-nx} 
=\sum_{n=1}^{\infty} x^3 e^{-nx}

Άρα και το ζητούμενο ολοκλήρωμα θα ισούται με:

\int_{0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} x^3 e^{-nx}

και θέτοντας kx=u παίρνουμε:

\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-u} (\frac {u} {n})^3 \frac{du}{n} 
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1} {n^4} \int_{0}^{\infty}e^{-u}u^3 du

Αναγνωρίζουμε το ολοκλήρωμα σαν τη Γ(4)=3!=6 (προκύτει εύκολα και αναδρομικά..) ενώ το άθροισμα είναι το ζ(4) (=\frac {\pi^4} {90})

Άρα προκύπτει το \frac {\pi ^4} {15}

Νομίζω ότι το αποτέλεσμα μπορεί να γενικευθεί για την περίπτωση όπου 3->ν οπότε το ολοκλήρωμα θα ισούται με ζ(ν+1)Γ(ν+1) και αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο.. (εκτός αν έχω κάνει κάτι πολύ λάθος και δεν το βλέπω :oops: )


Edit: Με πρόλαβαν... :cry:


Engineers will go without food and hygiene for days to solve a problem. (Other times just because they forgot.) And when they succeed in solving the problem they will experience an ego rush that is better than sex- and I'm including the kind of sex where other people are involved.
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 21

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Ιαν 10, 2010 3:45 pm

Μπράβο σας, le(m)onidas welcome


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης