Συνεχής συνάρτηση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συνεχής συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Ιαν 12, 2010 7:01 am

Δίνεται η συνάρτηση f:R \to R με τις ακόλουθες ιδιότητες
1. f(x+y)\leq f(x)+f(y),\forall x,y \in R
2. f(0)=0
3. Είναι συνεχής στο 0
Να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο R


Σπύρος Καπελλίδης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11746
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνεχής συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 12, 2010 9:34 am

s.kap έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση f:R \to R με τις ακόλουθες ιδιότητες
1. f(x+y)\leq f(x)+f(y),\forall x,y \in R
2. f(0)=0
3. Είναι συνεχής στο 0
Να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο R
Ενδιαφέρον.

Για κάθε x και a, η υπόθεση δίνει

f(x) \le f(a) + f(x-a) και
f(a) \le f(x) + f(a-x)

Τα δύο μαζί γράφονται

-f(a-x) \le f(x) - f(a) \le f(x-a)

Παίρνουμε όριο x τείνοντος στο a. Tα δύο ακριανά τείνουν εξ υποθέσεως
στο f(0) = 0. Από ισοσυγκλίνουσες, f(x) τείνει στο f(a).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2194
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Ιαν 12, 2010 10:48 am

Στο ίδιο μοτίβο
\displaystyle{f(x_0)=f(x_0+h-h)\le f(x_0+h)+f(-h)\Rightarrow f(x_0)-f(-h)\le f(x_0+h)\le f(x_0)+f(h)} [1]
\displaystyle{\lim_{h\to 0}f(h)=\lim_{h\to 0}f(-h)=f(0)=0}
Παίρνοντας όρια στην [1] προκύπτει το ζητούμενο


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες