Λείες συναρτήσεις

Tolaso J Kos · #1

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία είναι λεία (δηλ. έχει συνεχείς μερικές παραγώγους κάθε τάξης) . Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν συναρτήσεις $g_i, \; i=1, 2, \dots, n$ τέτοιες ώστε: $\displaystyle{f\left ( x_1, \dots, x_n \right )-f\left ( 0, \dots, 0 \right )=\sum_{i=1}^{n}x_i g_i \left ( x_1, \dots, x_n \right )}$ .

Δεν έχω λύση.

#2

Για $\displaystyle{{\bf{x}} = \left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) \in {\mathbb{R}^n}}$ και $t \in \mathbb{R}$ θέτουμε

$\displaystyle{{\varphi _{\bf{x}}}\left( t \right) = f\left( {t{\bf{x}}} \right)}$

και παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{\int_0^1 {{{\varphi '}_{\bf{x}}}\left( t \right)} dt = {\varphi _{\bf{x}}}\left( 1 \right) - {\varphi _{\bf{x}}}\left( 0 \right) = f\left( {\bf{x}} \right) - f\left( {\bf{0}} \right).}$

Αλλά, χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας, έχουμε ότι:

$\displaystyle{\int_0^1 {{{\varphi '}_{\bf{x}}}\left( t \right)} dt = \int\limits_0^1 {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}} f\left( {t{\bf{x}}} \right) \cdot \frac{d}{{dt}}\left( {t{x_i}} \right)} \right)dt} = }$

$\displaystyle{ = \int_0^1 {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}} f\left( {t{\bf{x}}} \right) \cdot {x_i}} \right)dt} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}\left( {\int_0^1 {\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}f\left( {t{\bf{x}}} \right)dt} } \right)} .}$

Επομένως, το ζητούμενο προκύπτει άμεσα, θέτοντας

$\displaystyle{{{g_i}\left( {\bf{x}} \right): = \int_0^1 {\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}f\left( {t{\bf{x}}} \right)dt} }}$

για $\displaystyle{i = 1,2, \ldots ,n.}$

Λείες συναρτήσεις

Λείες συναρτήσεις

Re: Λείες συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση