Υπολογισμός σειράς

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4299
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Υπολογισμός σειράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιουν 24, 2015 11:11 pm

Να υπολογιστούν οι σειρές: \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k(2k+1)}, \;\;\; \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)(2k+2)}}.

Y.Σ: 'Εχω λύση με πάρα πολύ βαριά εργαλεία. Ψάχνω για κάτι στοιχειώδες.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12188
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπολογισμός σειράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιουν 24, 2015 11:32 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Να υπολογιστούν οι σειρές: \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k(2k+1)}, \;\;\; \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)(2k+2)}}.
Και τα δύο είναι άλλη μορφή της σειράς Leibnitz \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} =1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - ... = \ln 2}

Συγκεκριμένα, η πρώτη ισούται (άμεσο) με

\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{2k}- \frac{1}{2k+1} \right ) =  \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... =1-\ln 2}

και η δεύτερη

\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}  \left ( \frac{1}{2k+1}- \frac{1}{2k+2} \right ) =\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...=-\frac {1}{2}+\ln 2 }

M.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4299
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμός σειράς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιουν 25, 2015 12:38 am

Ευχαριστώ πολύ κ. Μιχάλη. Αυτές είναι στοιχειώδεις λύσεις. Εγώ για τη δεύτερη χρησιμοποίησα τη διγάμμα και για τη πρώτη κατέφυγα σε "ακροβατικά". Ευχαριστώ και πάλι.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
gian7
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 11, 2011 2:52 pm
Τοποθεσία: Άθηνα
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμός σειράς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gian7 » Πέμ Ιουν 25, 2015 11:20 pm

Η δεύτερη μπορεί να προκύψει από την πρώτη ως εξής:

{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{2k}- \frac{1}{2k+1} \right ) }=  {{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{2k}- \frac{1}{2k+2} + \frac{1}{2k+2}- \frac{1}{2k+1} \right ) }   =\displaystyle{{{ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{2k}- \frac{1}{2k+2} \right ) - \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \left (\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2} \right ) }=}\displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty}\frac{1}{2k+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)(2k+2)} \Rightarrow  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)(2k+2)}= ln2 - \frac{1}{2}


Γιαννης Μπαρουμας

Empty your mind, be formless, shapeless — like water. Now you put water in a cup, it becomes the cup; You put water into a bottle it becomes the bottle; You put it in a teapot it becomes the teapot. Now water can flow or it can crash. Be water, my friend. Bruce Lee
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες