βραδυνό ολοκλήρωμα 52

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

βραδυνό ολοκλήρωμα 52

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Ιαν 23, 2010 6:58 pm

Ένα ολοκλήρωμα που υποστηρίζει πολλούς τρόπους αντιμετώπισης :D
\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}dx


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 52

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Σάβ Ιαν 23, 2010 7:10 pm

Ενας απο τους οποιους ειναι προσθετουμε και αφαιρουμε μια μοναδα στον αριθμητη και υπολογιζοντας τα δυο ολοκληρωματα βγαζω π/4. :D


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 52

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Ιαν 23, 2010 7:16 pm

Ο τρόπος του papel
\begin\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}dx &=&\lim_{M\rightarrow\infty}\int_{0}^{M}\left(\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right)dx\\&=&\frac{\pi}{2}-\lim_{M\rightarrow\infty}\int_{0}^{M}\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}dx\\&=&\frac{\pi}{2}-\lim_{M\rightarrow\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{M}\frac{1}{\left(\tan^{2}\theta+1\right)^{2}}\sec^{2}\theta\, d\theta\\&=&\frac{\pi}{2}-\lim_{M\rightarrow\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{M}\cos^{2}\theta\, d\theta\\&=&\frac{\pi}{2}-\lim_{M\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\int_{0}^{M}(1+\cos 2\theta)\, d\theta\\&=&\frac{\pi}{2}-\lim_{M\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{0}^{M}\\&=&\frac{\pi}{4}\end{eqnarray*}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 52

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τρί Ιαν 26, 2010 8:09 pm

Ας δώσω και εγώ μια από τις πιο κλασσικές λύσεις.
Θέτουμε \displaystyle f(z)=\frac{z^2}{(z^2+1)^2}. Η f έχει πόλο στο \textrm{i} και υπολογίζοντας το υπόλοιπο \displaystyle \textrm{Res}(f(z);z=\textrm{i})=\lim_{z\rightarrow \textrm{i}}f(z)=-\frac{\textrm{i}}{4}. Άρα λοιπον,
\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{x^2}{(x^2+1)^2}\;\textrm{d}x=\pi\textrm{i} \cdot \textrm{Res}\left(\frac{x^2}{(x^2+1)^2};x=\textrm{i}\right)=\frac{\pi}{4}.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
thepathofresistance
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Τρί Ιουν 14, 2011 2:56 am

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 52

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thepathofresistance » Κυρ Σεπ 04, 2011 9:23 pm

\displaystyle{ 
I = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{x^2 }} 
{{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }}dx\underbrace  = _{x = \frac{1} 
{y} \Rightarrow dx =  - \frac{1} 
{{y^2 }}dy}} \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\frac{1} 
{{y^2 }}}} 
{{\left( {\frac{1} 
{{y^2 }} + 1} \right)^2 }}\frac{1} 
{{y^2 }}dy}  = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1} 
{{\left( {y^2  + 1} \right)^2 }}dy} \underbrace  = _{y = \tan x \Rightarrow dy = \sec ^2 xdx}\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\cos ^2 xdx}  
}
\displaystyle{ 
 = \frac{1} 
{2}\left( {x + \sin x\cos x} \right)\left| {_0^{\frac{\pi } 
{2}} } \right. = \frac{1} 
{2}\left( {\frac{\pi } 
{2}} \right) = \frac{\pi } 
{4} 
}

:)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες