Όριο

mathxl · #1

Να υπολογιστεί το όριο
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\left( {2n + 1} \right)\int\limits_0^1 {{x^n}{e^x}dx} } \right]}$

#2

mathxl έγραψε:Να υπολογιστεί το όριο
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\left( {2n + 1} \right)\int\limits_0^1 {{x^n}{e^x}dx} } \right]}$

Θέτω $f_{n}=(2n+1)x^{n}e^{x}$ . Για τυχαίο 0<a<1

είναι $f_{n}(x)\stackrel{o\mu}{\longrightarrow}0$ στο [0,a]

, άρα $\displaystyle\int_{0}^{a}f_{n}\,dx\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$ . Αφήνοντας το a να πάει στο 1 έχουμε ότι $\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}\,dx\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$ .

Edit : Η απόδειξη έχει λάθος. Ευχαριστώ για τις επισημάνσεις

peter · #3

Αναστάση, στην τελευταία γραμμή υπάρχει ένα λάθος. Δε μπορείς να αφήσεις το $a\to 1$ , έχεις πάρει ήδη όριο ως προς

. Αν ήξερες ότι η $f_n\to f$ ομοιόμορφα σ' όλο το [0,1]

τότε θα είχες: $\displaystyle \int_0^{x_n} f_n\to \int_0^1 f$ για κάθε $x_n\uparrow 1$ .

Εδώ νομίζω το όριο είναι

. Έστω

. Τότε όπως έδειξες είναι $\displsystyle \int_0^a f_n(x)\, dx\to 0$ . Απ' την άλλη μεριά είναι $\displaystyle e^a\frac{2n+1}{n+1}(1-a^{n+1})\leq \int_a^1 f_n(x)\, dx\leq e\frac{2n+1}{n+1}(1-a^{n+1})$ . Άρα, θα είναι $2e^a\leq \liminf_{n\to \infty} J_n\leq \limsup_{n\to \infty} J_n\leq 2e$ , όπου $J_n=\int_a^1 f_n(x)\, dx$ . Καθώς, το

ήταν τυχόν θα έχεις: $\displaystyle (2n+1)\int_0^1 x^n e^x\, dx\to 2e$ .

Το επιχείρημα της σύγκλισης δεν είναι (πολύ αυστηρά) γραμμένο, αλλά πιστεύω φαίνεται τι ακριβώς χρειάζεται.

mathxl · #4

Πράγματι το όριο είναι 2e με απόδειξη που εμπλέκει αθροιστή και εναλλαγή αθροιστή ολοκληρώματος (αν θυμάμαι καλά) και αρκετά εκτενής. Η απόδειξη του Τάσου με την προσθήκη του Πέτρου είναι πολύ πιο σύντομη

#5

mathxl έγραψε:Πράγματι το όριο είναι 2e με απόδειξη που εμπλέκει αθροιστή και εναλλαγή αθροιστή ολοκληρώματος (αν θυμάμαι καλά) και αρκετά εκτενής. Η απόδειξη του Τάσου με την προσθήκη του Πέτρου είναι πολύ πιο σύντομη

Και μια λύση ακόμα πιο σύντομη η οποία αναδεικνύει την ισχύ της ολοκλήρωσης κατά μέρη.

Αυτή συνήθως δουλεύει όταν το πρόβλημα παρουσιάζεται στα άκρα. Εδώ το πρόβλημα υπάρχει στο

, αφού εκεί καθώς το

αυξάνει παίρνουμε $\infty$ και δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε απευθείας Θ.Κ.Σ.

Είναι λοιπόν

$\displaystyle{\int_{0}^{1}(2n+1)x^ne^x\,dx=\int_{0}^{1}\frac{2n+1}{n}xe^x(x^n){'}\,dx=e\frac{2n+1}{n}-\int_{0}^{1}\left(2+\frac{1}{n}\right)e^{x}x^n(x+1)\,dx:=e\frac{2n+1}{n}-\int_{0}^{1}f_{n}(x)}$ .

Όμως $\displaystyle{f_{n}(x)\to\begin{cases}0 & ,x\in[0,1) \\ 4e & ,x=1\end{cases}}$ , με $\displaystyle{|f_{n}(x)|\leq6e\,\,\forall x\in[0,1],\,\,\forall n}$ .

Από Θ.Κ.Σ. Το όριο είναι

.

#6

$\displaystyle{0\le I_n=\int_{0}^{1}{x^ne^xdx}\le\int_{0}^{1}{x^nedx}=e/(n+1)\to 0\Rightarrow I_n\to0}$

$\displaystyle{I_n=\int_{0}^{1}{x^ne^xdx}=e-nI_{n-1},I_0=e-1,n\in N^*}$ από παραγοντική

άρα
$\displaystyle{nI_{n-1}\to e\Rightarrow (n-1)I_{n-1}+I_{n-1}\to e\Rightarrow (n-1)I_{n-1}\to e\Rightarrow nI_n\to e\Rightarrow (2n+1)I_n\to 2e}$

Παρατήρηση:ευρεση νιοστού όρου της $\displaystyle{I_n}$
$\displaystyle{ (-1)^nI_n/n!=(-1)^ne/n!+(-1)^{n-1}I_{n-1}/(n-1)!}$

θετω $\displaystyle{a_n=(-1)^nI_n/n!}$ αρα $\displaystyle{a_n-a_{n-1}=(-1)^ne/n!}$ οπότε δίνοντας τιμές στο n και με προσθεση κατά μέλη παίρνω

$\displaystyle{a_n=a_0+e\sum_{1}^{n}{(-1)^k/k!}=e-1+e\sum_{1}^{n}{(-1)^k/k!}=e(\sum_{0}^{n}{(-1)^k/k!})-1\Rightarrow I_n=(-1)^nn!(e(\sum_{0}^{n}{(-1)^k/k!})-1)}$

#7

R BORIS έγραψε: $\displaystyle{0\le I_n=\int_{0}^{1}{x^ne^xdx}\le\int_{0}^{1}{x^nedx}=e/(n+1)\to 0\Rightarrow I_n\to0}$

$\displaystyle{I_n=\int_{0}^{1}{x^ne^xdx}=e-nI_{n-1},I_0=e-1,n\in N^*}$ από παραγοντική

άρα
$\displaystyle{nI_{n-1}\to e\Rightarrow (n-1)I_{n-1}+I_{n-1}\to e\Rightarrow (n-1)I_{n-1}\to e\Rightarrow nI_n\to e\Rightarrow (2n+1)I_n\to 2e}$

Ταχύτατο και στοιχειώδες! Ωραίο Ροδόλφε!

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση