Όριο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο: $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \; \frac{2^{-n}}{2^{2^{-n}}-1}}$ .

Ωmega Man · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Δεν ξέρω τι να γράψω.

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δεν ξέρω τι να γράψω.

Επειδή μας διαβάζουν μαθητές και φοιτητές ας ερμηνεύσω που είναι τα προβλήματα.

Ωmega Man έγραψε: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^{-n}}{2^{2^{-n}} - 1 } = \lim_{n\to 0 } \frac{n}{2^{n} - 1 }$

Εδώ έγινε αλλαγή μεταβλητής, οπότε μπορούμε να θέσουμε $m= 2^{-n}$ και να παρατηρήσουμε ότι τώρα η ακολουθία μας ικανοποιεί $m\to 0$ . Στο παραπάνω το

ξαναονομάστηκε

(το όνομα της αρχικής μεταβλητής). Αυτό από μόνο του δεν είναι σφάλμα αλλά είναι κακή πρακτική. Όμως αυτό του είναι σοβαρό σφάλμα είναι ότι στην δεξιά παράσταση το

(που έπρεπε να είναι

) ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ η ακολουθία 1, 2, 3, ...

οπότε η γραφή $\displaystyle \lim_{n\to 0}$ δεν έχει νόημα.

Ωmega Man έγραψε: $\displaystyle \lim_{n\to 0}\frac{1}{\frac{2^{n} - 2^{0}}{n - 0}} = \frac{1}{\left(2^{n}\right)'\bigg|_{n\to 0 }}$

Πρώτα από όλα το $n\to 0$ πρέπει να αντικατασταθεί με n=0

, δηλαδή να μιλάμε για παράγωγο στο n=0

. Ας το θεωρήσουμε αυτό τυπογραφικό σφάλμα. Όμως αυτό που είναι ΣΟΒΑΡΟ σφάλμα είναι ότι παραγωγίζουμε ως προς διακριτή μεταβλητή. Τέτοια παραγώγιση δεν έχει νόημα: Η παράγωγος είναι τοπική έννοια, και χρειάζεται να εξεταστεί η συνάρτηση σε ένα διάστημα γύρω από το σημείο παραγώγισης.

Ωmega Man έγραψε: $\displaystyle\frac{1}{\ln(2) 2^{0}}}$

Ορθότερα $\displaystyle\frac{1}{(\ln 2) 2^{0}}}$

Αμέσως από κάτω γράφω την σωστή λύση.

#5

Tolaso J Kos έγραψε:Να υπολογιστεί το όριο: $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \; \frac{2^{-n}}{2^{2^{-n}}-1}}$ .

Αρκεί να βρούμε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \; \frac{2^{-x}}{2^{2^{-x}}-1}}$ , δηλαδή όριο ως προς συνεχή μεταβλητή στην θέση του ορίου ακολουθίας.

Θέτουμε $y=2^{-x}$ , οπότε $y\to 0$ . Άρα

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2^{-x}}{2^{2^{-x}} - 1 } = \lim_{y\to 0 } \frac{y}{2^{y} - 1 }=\lim_{y\to 0}\frac{1}{\frac{2^{y} - 2^{0}}{y - 0}} = \frac{1}{\left(2^{y}\right)'\bigg|_{y= 0 }}$

$\displaystyle = \frac{1}{(\ln 2) 2^{0}}= \frac{1}{\ln 2}$

Ωmega Man · #6

Λέω να πάω για τρίτη εξεταστική, τώρα έχω το "μεροκάματο" να σκεφτώ....

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση