Εναλλαγή σειράς άθροισης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Εναλλαγή σειράς άθροισης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Σεπ 14, 2015 3:24 pm

Καλησπέρα.

Έχει κανείς καμμία ιδέα για το πως θα μπορούσε να δικαιολογηθεί ότι \displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k+i-1}}{(kn)^i}=\sum_{i=1}^{+\infty}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k+i-1}}{(kn)^i}} (n θετικός ακέραιος) δεδομένου ότι η σύγκλιση δεν είναι απόλυτη;

Σημειωτέον ότι η ισότητα ισχύει.
Απόδειξη:
Αν δεν ίσχυε θα ήταν κρίμα γιατί μου χαλάει τη μανέστρα..
Ευχαριστώ.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
gian7
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 11, 2011 2:52 pm
Τοποθεσία: Άθηνα
Επικοινωνία:

Re: Εναλλαγή σειράς άθροισης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gian7 » Δευ Σεπ 14, 2015 4:45 pm

Μου θύμησε Θεώρημα Fubini. Βοηθάει καθόλου ή γράφω μπούρδες; :mrgreen:


Γιαννης Μπαρουμας

Empty your mind, be formless, shapeless — like water. Now you put water in a cup, it becomes the cup; You put water into a bottle it becomes the bottle; You put it in a teapot it becomes the teapot. Now water can flow or it can crash. Be water, my friend. Bruce Lee
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Εναλλαγή σειράς άθροισης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Σεπ 14, 2015 5:39 pm

Δε βλέπω πως μπορεί να εφαρμοστεί αφού δεν έχουμε απόλυτη σύγκλιση. Απο την άλλη, αν η σύγκλιση ήταν απόλυτη δε θα ήταν απαραίτητο ένα τόσο βαρύ εργαλείο. Θα αρκούσε ότι το άθροισμα όρων με σταθερό πρόσημο είναι ανεξάρτο του τρόπου άθροισης και αυτό αποδεικνύεται με στοιχειώδη μέσα.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8449
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εναλλαγή σειράς άθροισης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Σεπ 14, 2015 7:01 pm

Η ισότητα όντως ισχύει. Μπορούμε να το δείξουμε ως εξής:

Θα υποθέσω πρώτα ότι n > 1. Τότε η \displaystyle{ \sum_{i=2}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty}} συγκλίνει απόλυτα οπότε μπορώ να αθροίσω τους όρους με όποια σειρά θέλω και πάλι να πάρω το ίδιο αποτέλεσμα.

Μετά χρησιμοποιώ το εξής:

Θεώρημα: Έστω σειρές \sum a_n και \sum b_n οι οποίες συγκλίνουν στα A,B αντίστοιχα. Έστω d_1,d_2,\ldots θετικοί ακέραιοι και έστω c_n η ακολουθία η οποία ξεκινά από τους πρώτους d_1 όρους της (a_n), συνεχίζει με τους πρώτους d_2 όρους της (b_n), μετά με τους επόμενους d_3 όρους της (a_n) κ.ο.κ. Τότε η \sum c_n συγκλίνει στο A+B.

Απόδειξη: Αφήνεται στον αναγνώστη.

Εφαρμόζω τώρα το θεώρημα στις ακολουθίες (a_n),(b_n) όπου η (a_n) είναι η -1/n,2/n,-3/n,\ldots ενώ η (b_n) ορίζεται ως εξής:

\displaystyle{ b_1 = 1/n^2 - 1/n^3 + 1/n^3 - \cdots}
\displaystyle{ b_2 = -1/4n^2 + 1/8n^3 - \cdots}
κ.ο.κ.

Η (c_n) είναι η a_1,b_1,a_2,b_2,\cdots.

Η περίπτωση n=1 πάλι στηρίζεται στο πιο πάνω θεώρημα αλλά έχει παραπάνω φασαρία. Είναι πιο εύκολο να το δείξω στα χαρτί παρά να γράψω την λύση οπότε το αποφεύγω. :)


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Εναλλαγή σειράς άθροισης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Σεπ 14, 2015 11:44 pm

Δημήτρη καλησπέρα και ευχαριστώ που ασχολήθηκες. Κάτι μάλλον δεν καταλαβαίνω. Μήπως θέλεις να πεις ότι η a_k είναι η -\frac{1}{2},\frac{1}{2k},-\frac{1}{3k},\frac{1}{4k},\ldots\;\;;

Αν είναι έτσι, τότε αν καταλαβαίνω καλά αυτό που λες, έχουμε ότι \displaystyle{a_k=\frac{(-1)^k}{kn}, \quad b_k=\sum_{i=2}^{+\infty}\frac{(-1)^{k+i-1}}{(kn)^i}} οπότε το άθροισμα της c_k όπως την ορίζεις συγκλίνει (άρα αφ' ενός θα είναι και το ίδιο και με το \lim_{m\to+\infty}\sum_{k=1}^{2m}c_k που είναι το \displaystyle{\sum_{k\geq1}\left(\frac{(-1)^{k}}{kn}+\sum_{i\geq2}\frac{(-1)^{k+i-1}}{(kn)^i}\right)}) και εφ' ετέρου θα είναι και το ίδιο με το \sum_{k\geq1}a_k+\sum_{k\geq1}b_k, δηλαδή το \displaystyle{\sum_{k\geq1}\frac{(-1)^k}{kn}+\sum_{k\geq1}\sum_{i\geq2}\frac{(-1)^{k+i-1}}{(kn)^i}}. Αυτό όμως δεν είναι ούτως ή άλλως άμεσο; Και επιπλέον δε βλέπω πώς δικαιολογείται η εναλλαγή. Προφανώς κάτι δεν πιάνω :(


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8449
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εναλλαγή σειράς άθροισης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Σεπ 15, 2015 9:58 am

Καλημέρα Αναστάση. Είχα όντως κάποιο τυπογραφικό στα a_n. Επίσης το θεώρημα είναι όντως τετριμμένο για την ακολουθία a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots. Είναι επίσης σχεδόν τετριμμένο για την περίπτωση n=1 οπότε εν τέλει δεν χρειάζεται να αναφερθούμε σε αυτό.

Η απόδειξη πάει ως εξής:

Θα γράψω \displaystyle{x_{i,k} = \frac{(-1)^{k+i-1}}{(kn)^i}}

\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} x_{i,k} = \sum_{k=1}^{\infty}x_{1,k} + \sum_{i=2}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} x_{i,k} =  \sum_{k=1}^{\infty}x_{1,k} + \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=2}^{\infty} x_{i,k} = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} x_{i,k}}

Η πρώτη και τρίτη ισότητα είναι τετριμμένες. Η δεύτερη ισχύει επειδή το \displaystyle{  \sum_{i=2}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} x_{i,k} } συγκλίνει απόλυτα για n>1.

Για n=1 (η γενικά και για οποιοδήποτε n) είναι

\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} x_{i,k} = \sum_{k=1}^{\infty}x_{1,k} + \sum_{i=2}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} x_{i,k} =  \sum_{k=1}^{\infty}x_{1,k} + \sum_{i=2}^{\infty}x_{i1} + \sum_{i=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty} x_{i,k} }

\displaystyle{= x_{11} + \sum_{k=2}^{\infty}x_{1,k} + \sum_{i=2}^{\infty}x_{i1} + \sum_{i=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty} x_{i,k} = x_{11} + \sum_{k=2}^{\infty}x_{1,k} + \sum_{i=2}^{\infty}x_{i1} + \sum_{k=2}^{\infty} \sum_{i=2}^{\infty} x_{i,k} =  \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} x_{i,k}}

Εδώ οι πρώτες τρεις ισότητες είναι τετριμμένες. Η τέταρτη είναι λόγω απόλυτης σύγκλισης. Οι υπόλοιπες που αποσιωπούνται είναι ανάλογες με τις πρώτες τρεις.


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Εναλλαγή σειράς άθροισης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Σεπ 15, 2015 11:23 am

οκ κατάλαβα. Ήταν τετριμμένο. Πάλι σε μια κουταλιά νερό πνίγηκα. Ευχαριστώ.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες