βραδυνό ολοκλήρωμα 57

mathxl · #1

Γιαυτό δεν έχω λύση
$\displaystyle{J = \int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin \left( {2x} \right)}}{{3 + {{\cos }^2}\left( {2x} \right)}}dx} }$

Ιστοσελίδα · #2

Είναι: $\displaystyle{ \int\limits_0^\pi {xf(\sin x)dx} = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {f(\sin x)dx} }$ (σχολική άσκηση σελιδα 352 γενικές) επομένως

$\displaystyle{ \int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin 2x}}{{3 + \cos ^2 2x}}dx} = \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin 2x}}{{4 - \sin ^2 2x}}dx} = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin 2x}}{{3 + \cos ^2 2x}}dx} }$

θέτοντας u = cos2x έχουμε: du = - 2sin2xdx οπότε:

$\displaystyle{ = - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {\frac{{ - 2\sin 2x}}{{3 + \cos ^2 2x}}dx} = - \frac{\pi }{4}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{3 + u^2 }}du} }$

ξαναθέτουμε $\displaystyle{ u = \sqrt 3 t }$ τότε $\displaystyle{ du = \sqrt 3 dt }$ οπότε

$\displaystyle{ = \frac{\pi }{4}\int\limits_{ - {\textstyle{{\sqrt 3 } \over 3}}}^{{\textstyle{{\sqrt 3 } \over 3}}} {\frac{1}{{3 + 3t^2 }}dt} = \frac{\pi }{4} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{ - {\textstyle{{\sqrt 3 } \over 3}}}^{{\textstyle{{\sqrt 3 } \over 3}}} {\frac{1}{{1 + t^2 }}dt} = \frac{\pi }{4} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3}\left[ {\tau o\xi \varepsilon \varphi t} \right]_{ - {\textstyle{{\sqrt 3 } \over 3}}}^{{\textstyle{{\sqrt 3 } \over 3}}} }$

αν δεν έχω λάθος κάπου στις πράξεις

mathxl · #3

Η λύση του φίλου Σπύρου έχει ένα λαθάκι, ωστόσο μου έδωσε μια ιδέα για σχολική λύση και μετακίνηση του θέματος στον φάκελο ολοκληρωτικός λογισμός γ΄λυκείου
$\displaystyle{\begin{array}{l} \displaystyle\J = \int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin \left( {2x} \right)}}{{3 + {{\cos }^2}\left( {2x} \right)}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{x\sin \left( {2x} \right)}}{{3 + {{\cos }^2}\left( {2x} \right)}}dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{x\sin \left( {2x} \right)}}{{3 + {{\cos }^2}\left( {2x} \right)}}dx} = \\ \mathop =\displaystyle \limits_{dx = du}^{x = \frac{\pi }{2} + u} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{x\sin \left( {2x} \right)}}{{3 + {{\cos }^2}\left( {2x} \right)}}dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{ - \left( {\frac{\pi }{2} + u} \right)\sin \left( {2u} \right)}}{{3 + {{\cos }^2}\left( {2x} \right)}}dx} = \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} =\displaystyle\ - \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{3 + {{\cos }^2}\left( {2x} \right)}}dx} \mathop = \limits_{ - 2\sin 2xdx = dt}^{\cos 2x = t} \frac{\pi }{4}\int\limits_1^{ - 1} {\frac{1}{{3 + {t^2}}}dt} = \\ \mathop = \displaystyle \limits_{dt = \sqrt 3 \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx}^{t = \sqrt 3 \tan x} \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{12}}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{ - \frac{\pi }{6}} {dx} = - \frac{{{\pi ^2}\sqrt 3 }}{{36}} \\ \end{array}}$

Ιστοσελίδα · #4

Βασίλη πρώτη φορά μου ξανάσυμβαίνει!!!!!

βραδυνό ολοκλήρωμα 57

βραδυνό ολοκλήρωμα 57

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 57

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 57

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 57

Μέλη σε σύνδεση