Αναγωγικοί τύποι διωνυμικών ολοκληρωμάτων

#1

Έστω $\displaystyle J_{p,q}=\int(a+bx)^{p}x^{q}\,dx$ με $a,b\in\mathbb{R}^{*}$ . Τότε

1) $\displaystyle J_{p+1,q}=aJ_{p,q}+bJ_{p,q+1}$ ,

2) $(a+bx)^{p+1}x^{q+1}=(p+1)bJ_{p,q+1}+(q+1)J_{p+1,q}$

3) $\displaystyle J_{p,q}=-\frac{(a+bx)^{p+1}x^{q+1}}{a(p+1)}+\frac{p+q+2}{a(p+1)}J_{p+1,q}$ , όπου $p\neq-1$

4) $\displaystyle J_{p,q}=\frac{(a+bx)^{p+1}x^{q+1}}{a(p+1)}-b\frac{p+q+2}{a(q+1)}J_{p,q+1}$ , όπου $q\neq-1$ ,

5) $\displaystyle J_{p,q}=\frac{(a+bx)^{p}x^{q+1}}{p+q+1}+\frac{ap}{p+q+1}J_{p-1,q}$ , όπου $p+q\neq-1$ ,

6) $\displaystyle J_{p,q}=\frac{(a+bx)^{p+1}x^{q}}{b(p+q+1)}-\frac{aq}{b(p+q+1)}J_{p,q-1}$ , όπου $p+q\neq-1$ .

Αυτά για όποιον δε βγει βόλτα απόψε....

Christos.N · #2

Τα πρώτα 3 απόψε, τα επόμενα σε επόμενο βροχερό βράδυ.
1)
$\displaystyle{\begin{array}{l} {J_{p + 1,q}} = \int {{{(a + bx)}^{p + 1}}{x^q}dx = } \int {(a + bx){{(a + bx)}^p}{x^q}dx = } \int {a{{(a + bx)}^p}{x^q} + bx{{(a + bx)}^p}{x^q}dx = } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a\int {{{(a + bx)}^p}{x^q}dx} + b\int {{{(a + bx)}^p}{x^{q + 1}}dx = a{J_{p,q}} + b{J_{p,q + 1}}} \\ \end{array}}$

2)
$\displaystyle{\begin{array}{l} [{(a + bx)^{p + 1}}{x^{q + 1}}]' = (p + 1)b{(a + bx)^p}{x^{q + 1}} + (q + 1){(a + bx)^{p + 1}}{x^q} \Rightarrow \\ \int {[{{(a + bx)}^{p + 1}}{x^{q + 1}}]'dx = \int {(p + 1)b{{(a + bx)}^p}{x^{q + 1}}} dx + \int {(q + 1){{(a + bx)}^{p + 1}}{x^q}} } dx \Rightarrow \\ {(a + bx)^{p + 1}}{x^{q + 1}} = (p + 1)b{J_{p,q + 1}} + (q + 1){J_{p + 1,q}} \\ \end{array}}$

3)
$\displaystyle{\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {J_{p + 1,q}} = a{J_{p,q}} + b{J_{p,q + 1}} \\ {(a + bx)^{p + 1}}{x^{q + 1}} = (p + 1)b{J_{p,q + 1}} + (q + 1){J_{p + 1,q}} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a{J_{p,q}} + b{J_{p,q + 1}} = {J_{p + 1,q}} \\ {(a + bx)^{p + 1}}{x^{q + 1}} = (p + 1)b{J_{p,q + 1}} + (q + 1){J_{p + 1,q}} \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} a(p + 1){J_{p,q}} + (p + 1)b{J_{p,q + 1}} = (p + 1){J_{p + 1,q}} \\ 0 = - {(a + bx)^{p + 1}}{x^{q + 1}} + (p + 1)b{J_{p,q + 1}} + (q + 1){J_{p + 1,q}} \\ \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \oplus a(p + 1){J_{p,q}} = - {(a + bx)^{p + 1}}{x^{q + 1}} + (p + q + 2){J_{p + 1,q}} \\ \Leftrightarrow {J_{p,q}} = - \frac{{{{(a + bx)}^{p + 1}}{x^{q + 1}}}}{{a(p + 1)}} + \frac{{(p + q + 2)}}{{a(p + 1)}}{J_{p + 1,q}},p \ne - 1 \\ \end{array}}$

να φύγουν και απο τα αναπάντητα.

Αναγωγικοί τύποι διωνυμικών ολοκληρωμάτων

Αναγωγικοί τύποι διωνυμικών ολοκληρωμάτων

Re: Αναγωγικοί τύποι διωνυμικών ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση