Miscellaneous (2)

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Miscellaneous (2)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Φεβ 02, 2010 12:29 pm

Χρησιμοποιώντας τον τύπο \displaystyle\frac{1}{x^{2}+1}=\frac{i}{2}\Big(\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i}\Big),

ας δειχθεί ότι \displaystyle\Big(\frac{1}{x^{2}+1}\Big)^{(n)}=(-1)^{n}n!\sin\big((n+1)\cot^{-1}x\big)\sin^{n+1}(\cot^{-1}x).

( :santalogo: Ψιλοσάπιο και αυτό... :santalogo: )


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Miscellaneous (2)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Φεβ 03, 2010 2:15 am

Ζαλίστηκα .....
Συνημμένα
!! 000 kot-ouf.jpg
!! 000 kot-ouf.jpg (45.67 KiB) Προβλήθηκε 400 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Miscellaneous (2)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Φεβ 03, 2010 12:45 pm

Σεραφείμ νόμιζα ότι δε θα ασχολιόταν κανείς με αυτή την άσκηση καθότι λίαν σάπια (όπως και αρκετές που βάζω τελευταία...). Οφείλω να ομολογ= ότι το βιβλίο που διαβάζω αυτές τις μέρες (Advnaced Trigonometry Durell & Robson) έχει μπόλικες τέθοιες. Παρουσιάζουν όμως πιστεύω και κάποιο ενδιαφέρον διότι κάνοντας χρήση της "τριγωνομετρίας" βγάζουν διάφορα αποτελέσματα που φαίνονται ουρανοκατέβατα!! Ευχαριστώ για το χρόνο σου!!

Η δική μου αντιμετώπιση : δε διαφέρει και πολύ από τη δική σου:

Όπως έγραψες, είναι

\displaystyle\Big(\frac{1}{x^{2}+1}\Big)^{(n)}=\frac{i}{2}\Big(\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i}\Big)^{(n)}=\frac{n!i(-1)^{n}}{2}\big((x+i)^{-(n+1)}-(x-i)^{-(n+1)}\big).

Θέτω εδώ x=\cot\theta για κάποιο \theta\in(0,\pi) και το παραπάνω γίνεται

\displaystyle\frac{\sin^{n+1}\theta n!i(-1)^{n}}{2}\big((\cos\theta+i\sin\theta)^{-(n+1)}-(\cos\theta-i\sin\theta)^{-(n+1)}\big)=

\displaystyle(-1)^{n}n!\sin^{n+1}\theta\sin(n+1)\theta\stackrel{\theta=\cot^{-1}x}{=}(-1)^{n}n!\sin\big((n+1)\cot^{-1}x\big)\cdot\sin^{n+1}(\cot^{-1}x)


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης