Aναλυτική

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Aναλυτική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τρί Μαρ 22, 2016 6:48 pm

Δινεται η έλλειψη \displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1} και σημείο της P(acosc,bsinc)

1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της στο P είναι bxcosc+aysinc=ab

2) Το P βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο και διαφέρει από της κορυφές της έλλειψης και η εφαπτομένη στο P τέμνει τους άξονες στα σημεία M,N. Το τρίγωνο OMN περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα των x και παράγει κώνο όγκου V .Να βρείτε το sincέτσι ώστε το V να είναι ελάχιστο .


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 307
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Aναλυτική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Μαρ 22, 2016 10:05 pm

erxmer έγραψε:Δινεται η έλλειψη \displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1} και σημείο της P(acosc,bsinc)

1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της στο P είναι bxcosc+aysinc=ab

2) Το P βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο και διαφέρει από της κορυφές της έλλειψης και η εφαπτομένη στο P τέμνει τους άξονες στα σημεία M,N. Το τρίγωνο OMN περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα των x και παράγει κώνο όγκου V .Να βρείτε το sincέτσι ώστε το V να είναι ελάχιστο .
Καλησπέρα! Μια προσπάθεια ...

1. Από τον γνωστό τύπο για την εξίσωση της εφαπτομένης έχουμε: (\varepsilon ):\displaystyle{\frac{x a cosc}{a^2}+\frac{y b sinc}{b^2}=1} \Leftrightarrow (b cosc)x + (asinc)y -ab =0.

2. Αν M το σημείο τομής της \varepsilon με τον άξονα x'x, θέτοντας όπου y=0 στην εξίσωσή της προκύπτει M\left( \displaystyle{\frac{a}{cosc},0\right).

Η εφαπτομένη ισοδυνάμως παίρνει την μορφή : (\varepsilon ):\displaystyle{y=- \frac{b cosc}{a sinc} x+\frac{ b}{sinc}}.

Τώρα ο όγκος του στερεού εκ περιστροφής του χωρίου OMN γύρω από τον άξονα x'x είναι :

V= \displaystyle{\pi \int_{0}^{\frac{a}{cosc}}{\left( - \frac{b cosc}{a sinc} x+\frac{ b}{sinc}\right)^2 dx}=...=\frac{\pi a b^2}{3cosc\cdot  sin^2c}}... αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις!

Παραγωγίζοντας την συνάρτηση V ως προς c προκύπτει V'(c)=\displaystyle{\frac{\pi a b^2 \cdot sinc(3sin^2c-2)}{3sin^4c\cdot  cos^2c}}.

Οπότε έχουμε V'(c)=0\displaystyle{\Leftrightarrow sinc(3sin^2c-2)=0. 
 
Είναι sinc\neq 0 διαφορετικά P(a,0) και sinc>0 αφού το P ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο. 
 
Συνεπώς ισχύει sinc(3sin^2c-2)=0}\Leftrightarrow\displaystyle{sinc= \sqrt{\frac{2}{3}}, αφού sinc>0 .

Επoμένως από το γνωστό ... πινακάκι προκύπτει ότι ο V είναι ελάχιστος για \displaystyle{sinc= \sqrt{\frac{2}{3}}.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες