βραδυνό ολοκλήρωμα 59

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

βραδυνό ολοκλήρωμα 59

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Φεβ 08, 2010 9:37 pm

Να υπολογίσετε το
\displaystyle\int\limits_0^1 {\left\{ {\ln x} \right\}{x^m}dx}, όπου m \in \left( { - 1, + \infty } \right),\left\{ a \right\} = a - \left[ a \right]
Ovidiu Furdui, Campia-Turzii, Cluj, Romania


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 59

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Φεβ 09, 2010 1:39 am

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το
I:=\displaystyle\int\limits_0^1 {\left\{ {\ln x} \right\}{x^m}dx}, όπου m \in \left( { - 1, + \infty } \right),\left\{ a \right\} = a - \left[ a \right]
Ovidiu Furdui, Campia-Turzii, Cluj, Romania
Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος γιατί οι υπολογισμοί είναι άπειροι...

Παρατηρώ ότι για e^{-k}\leq x<e^{-(k-1)} είναι -k\leq\ln x<-(k-1) και συνεπώς θα έχουμε

[\ln x]=-k, άρα \{\ln x\}=\ln x+k. Γράφουμε λοιπόν

\displaystyle I=\sum_{k=1}^{+\infty}\int_{e^{-k}}^{e^{-(k-1)}}\{\ln x\}x^{m}\,dx=\sum_{k=1}^{+\infty}\Big(\int_{e^{-k}}^{e^{-(k-1)}}x^{m}\ln x\,dx+\int_{e^{-k}}^{e^{-(k-1)}}kx^{m}\,dx\Big)=

με κατά παράγοντες

\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\Big(\frac{x^{m+1}}{m+1}\Big|_{e^{-k}}^{e^{-(k-1)}}-\frac{x^{m+1}}{(m+1)^{2}}\Big|_{e^{-k}}^{e^{-(k-1)}}+k\frac{x^{m+1}}{m+1}\Big|_{e^{-k}}^{e^{-(k-1)}}}\Big)=

\displaystyle{\cdots=\frac{e^{m+1}}{(m+1)^{2}}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(k+1)m+k}{e^{k(m+1)}}=\frac{e^{m+1}}{(m+1)^{2}}\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{(k+1)m+k}{e^{k(m+1)}}}.

Το τελευταίο άθροισμα είναι το άθροισμα των n πρώτων όρων μεικτής προόδου.

Η αριθμητική έχει πρώτο όρο a=2m+1 και διαφορά \omega=m+1, ενώ η γεωμετρική έχει πρώτο όρο \displaystyle{b=\frac{1}{e^{m+1}}} και λόγο \displaystyle{\lambda=\frac{1}{e^{m+1}}}.

Από τον τύπο του n-οστού αθροίσματος μεικτής προόδου \displaystyle{S_{n}=\frac{ab-\big(a+(n-1)\omega\big)b\lambda^{n}}{1-\lambda}+\frac{\omega b(\lambda-\lambda^{n})}{(1-\lambda)^{2}}}, και συνδιασμό με το γεγονός ότι,

\displaystyle{m\in(-1,+\infty)\Rightarrow\frac{1}{e^{m+1}}<1}, έπεται ότι

\displaystyle{I=\cdots=\frac{(2m+1)e^{m+1}-m}{(m+1)^{2}(e^{m+1}-1)}}


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 59

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Φεβ 09, 2010 1:55 pm

Προσπαθώ να το τεστάρω στο wolfram αλλά δεν μου το υπολογίζει... Δεν ξέρω αν κάνω κάτι λάθος. Μπορεί να το τσεκάρει κανείς με κάποιο πρόγραμμα...;


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 59

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Φεβ 09, 2010 3:09 pm

Εδω ειναι μια δικη μου λυση. Να δουμε αν θα βρεθει ακρη...

Θετοντας u = - \ln x και χρησιμοποιωντας το γεγονος οτι \{ - u \} = 1 - \{ u \} σχεδον παντου, το ολοκληρωμα γινεται \displaystyle \int_0^{+ \infty} \left( 1 - \{ u \} \right) e^{-(m+1)u} du.

Χρησιμοποιωντας οτι \displaystyle \int_0^{+ \infty} \{ x \} f^{\prime} (x) dx = \sum_{k=1}^{+ \infty} f(k) - \int_0^{+ \infty} f(x) dx (αν τα ορια υπαρχουν και η παραγωγος ειναι συνεχης) και θετοντας \displaystyle f(x) = - \frac{1}{m+1} e^{-(m+1)x} το ολοκληρωμα γινεται

\displaystyle \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m+1} \sum_{k=1}^{+ \infty} e^{-(m+1)k} - \frac{1}{m+1} \int_0^{+ \infty} e^{-(m+1)x} dx και ως τελικο αποτελεσμα εχω

\displaystyle \frac{1}{m+1} + \frac{1}{(m+1) (e^{m+1} - 1)} - \frac{1}{(m+1)^2} = \frac{m e^{m+1} + 1}{(m+1)^2 (e^{m+1} - 1)} το οποιο διαφερει στον αριθμητη απο αυτο του Ανασταση.

Καποιο λαθακι υπαρχει καπου, θα το βρουμε...

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 59

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Φεβ 09, 2010 11:10 pm

Δίνω την πηγή του θέματος. Αχιλλέα, να πω την αλήθεια περίμενα δημοσίευση σου :lol: :lol:
http://ssmj.tamu.edu/problems/May-2009.pdf


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 59

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Φεβ 09, 2010 11:20 pm

mathxl έγραψε:Δίνω την πηγή του θέματος. Αχιλλέα, να πω την αλήθεια περίμενα δημοσίευση σου :lol: :lol:
http://ssmj.tamu.edu/problems/May-2009.pdf
Δε βλέπω λύση για το ολοκλήρωμά μας... Μέχρι 15 Οκτωβρίου του 09 είναι η προθεσμία.....Προλαβαίνουμε; :lol: :clap: :santalogo: :logo:


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 59

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Φεβ 11, 2010 11:40 pm

Η λύση εδώ http://ssmj.tamu.edu/problems/December-2009.pdf φαίνεται να συμφωνεί με αυτή του Δημήτρη. Δεν ξέρω τι ξέφυγε του Τάσου!;


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης