μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Φεβ 09, 2010 12:04 am

\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Φεβ 09, 2010 11:56 am

mathxl έγραψε:I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx
\displaystyle{I=\cdots=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{1}{2}}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}+\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{1}{2}}{x^{2}+\sqrt{2}x+1}\,dx}=

\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\Big(\ln\frac{x^{2}+\sqrt{2}x+1}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}\Big)\Big|_{-\infty}^{+\infty}=0.

Το γουστόζικο είναι ότι

\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx=-\int_{1}^{+\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx}.
τελευταία επεξεργασία από Κοτρώνης Αναστάσιος σε Τετ Φεβ 10, 2010 12:25 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Φεβ 09, 2010 11:26 pm

Τάσο ευχαριστώ για την απάντηση (πρέπει όταν την έλυνες να ήσουν νηστικός -λείπουν χ στους αριθμητές)
Μια άλλη αντιμετώπιση
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \displaystyle\int\limits_{ - \infty }^\infty  {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^4}}}} dx =  - \int\limits_{ - \infty }^\infty  {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}}}} dx =  - \int\limits_{ - \infty }^\infty  {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} - 2}}} dx\mathop  = \limits_{\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = dy}^{x + \frac{1}{x} = y}  \\  
  - \displaystyle\int\limits_{ - \infty }^\infty  {\frac{{dy}}{{{y^2} - 2}}}  = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_{ - \infty }^\infty  {\left( {\frac{1}{{y + \sqrt 2 }} - \frac{1}{{y - \sqrt 2 }}} \right)dy}  =  \\  
  = \displaysyle\mathop {\lim }\limits_{y \to  + \infty } \ln \left| {\frac{{y + \sqrt 2 }}{{y - \sqrt 2 }}} \right| - \mathop {\lim }\limits_{y \to  - \infty } \ln \left| {\frac{{y + \sqrt 2 }}{{y - \sqrt 2 }}} \right| = \ln 1 - \ln 1 = 0 \\  
 \end{array}}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Φεβ 10, 2010 12:05 am

Και κάτι που είδα και με άρεσε
Ας είναι
I =\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{4}}dx
Αλλάζουμε μεταβλητή y=1/x και έχουμε
I =\int_{0}^{\infty}\frac{y^{2}}{1+y^{4}}dy
άρα
0 = I-I =\int_{0}^{\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx
οπότε
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx = 0


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Φεβ 10, 2010 12:24 am

mathxl έγραψε:Και κάτι που είδα και με άρεσε
Ας είναι
I =\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{4}}dx
Αλλάζουμε μεταβλητή y=1/x και έχουμε
I =\int_{0}^{\infty}\frac{y^{2}}{1+y^{4}}dy
άρα
0 = I-I =\int_{0}^{\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx
οπότε
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx = 0
Βασίλη ωραίος τρόπος, αλλά είναι απαραίτητο να δείξει κανείς ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει, για να αποφύγει την κατάσταση \infty-\infty.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Φεβ 10, 2010 12:47 am

Αυτό μου διέφυγε :!: :fool:


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες