ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

χριστ maths
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Ιουν 06, 2016 10:47 pm

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χριστ maths » Τρί Ιουν 07, 2016 12:14 am

Μπορεί κάποιος να μου λύσει την διαφορική εξίσωση ; \frac{\partial y}{\partial x}\equiv y\m x\times \sin y


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13287
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιουν 07, 2016 12:23 am

χριστ maths έγραψε:Μπορεί κάποιος να μου λύσει την διαφορική εξίσωση ; \frac{\partial y}{\partial x}\equiv y\m x\times \sin y
Επειδή δεν βγαίνει νόημα με αυτό που έγραψες (το διάβασες πριν πατήσεις "Υποβολή";) παρακαλώ κάνε τις διορθώσεις, και βλέπουμε.


mathimatickos
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 10, 2015 10:13 pm

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathimatickos » Τρί Ιουν 07, 2016 1:17 am

\frac{\partial y}{\partial x}= y\m x\times \sin y

Μάλλον αυτή είναι η ζητούμενη ΣΔΕ.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13287
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιουν 07, 2016 1:45 am

mathimatickos έγραψε:\frac{\partial y}{\partial x}= y\m x\times \sin y

Μάλλον αυτή είναι η ζητούμενη ΣΔΕ.
Όταν λες "μάλλον" τι ακριβώς εννοείς; Ότι δεν είσαι σίγουρος ότι αυτή είναι η ερώτηση;

Όπως και να είναι, αυτή αποκλείεται να είναι η ΣΔΕ που μελετάς διότι έχει μερική παράγωγο αλλά είναι της μιας εξαρτημένης μεταβλητής. 'Ετσι όπως την έγραψες, δεν έχει νόημα.

Αλλά με τρώει και η περιέργεια: Εκείνο το \m που έχει η παράσταση που γράφεις, το οποίο δεν φαίνεται στην τελική μορφή, βρίσκεται εκεί αν το κοιτάξεις έξω από το latex (*), τι ρόλο παίζει;

Εάν δεν γράψεις σωστά την παράσταση, κανείς δεν θα ασχοληθεί. Αλλά ας επισημάνω ακόμη ότι το mathematica δεν είναι λυσάρι. Ο ρόλος του δεν είναι να λύνει ασκήσεις από τα μαθήματα που παρακολουθείς. Τα ποστ που μπαίνουν είναι για ασκήσεις τις οποίες αυτός που τις προτείνει ξέρει την λύση (εκτός αν το δηλώσει ρητά αλλά μας πείσει ότι έκανε αρκετή εργασία για να λύσει την άσκηση).


(*) Συγκεκριμένα, αντιγράφω το κείμενό σου αλλά δεν το βάζω σε latex:

\frac{\partial y}{\partial x}= y\m x\times \sin y


χριστ maths
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Ιουν 06, 2016 10:47 pm

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χριστ maths » Πέμ Ιουν 09, 2016 2:56 pm

Συγνώμη αλλά δεν ξέρω να χρησιμοποιώ σωστά την latex . Ήθελα να γράψω \frac{\partial y}{\partial x}=y-x*\sin y


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13287
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιουν 09, 2016 4:13 pm

χριστ maths έγραψε:Συγνώμη αλλά δεν ξέρω να χρησιμοποιώ σωστά την latex . Ήθελα να γράψω \frac{\partial y}{\partial x}=y-x*\sin y
Ίσως δεν έγινε κατανοητό το προηγούμενο μήνυμά μου. Ας επαναλάβω το επίμαχο σημείο:
Mihalis_Lambrou έγραψε: Όπως και να είναι, αυτή αποκλείεται να είναι η ΣΔΕ που μελετάς διότι έχει μερική παράγωγο αλλά είναι της μιας εξαρτημένης μεταβλητής. 'Ετσι όπως την έγραψες, δεν έχει νόημα.


χριστ maths
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Ιουν 06, 2016 10:47 pm

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χριστ maths » Πέμ Ιουν 09, 2016 8:56 pm

Είναι θέμα εξετάσεων του μαθήματος Συνηθείς Διαφορικές Εξισώσεις .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13287
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιουν 09, 2016 11:16 pm

χριστ maths έγραψε:Είναι θέμα εξετάσεων του μαθήματος Συνηθείς Διαφορικές Εξισώσεις .
Ακριβώς επειδή είναι θέμα στις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, αποκλείεται να υπάρχει το σύμβολο

\displaystyle { \frac {\partial y}{\partial x}. Προφανώς το σωστό είναι \displaystyle {\frac {d y}{d x} και επίσης προφανώς δεν γνωρίζεις την διαφορά των δύο συμβόλων.

Μπορείς σε παρακαλώ να σκανάρεις το σημείο στα θέματα των εξετάσεων όπου εμφανίζεται το ερώτημα;

Χωρίς να βεβαιωθούμε ότι διατυπώνεις σωστά την ερώτηση και ότι καταλαβαίνεις την εκφώνηση, μην περιμένεις να σου γράψουμε λύση.


χριστ maths
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Ιουν 06, 2016 10:47 pm

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χριστ maths » Παρ Ιουν 10, 2016 9:42 am

\frac{dy}{dx}=y-x*\sin y


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13287
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιουν 10, 2016 11:54 am

χριστ maths έγραψε:\frac{dy}{dx}=y-x*\sin y
Ίσως δεν έγινα κατανοητός.

Κάνω άλλη μία προσπάθεια.
Mihalis_Lambrou έγραψε: Μπορείς σε παρακαλώ να σκανάρεις το σημείο στα θέματα των εξετάσεων όπου εμφανίζεται το ερώτημα;

Χωρίς να βεβαιωθούμε ότι διατυπώνεις σωστά την ερώτηση και ότι καταλαβαίνεις την εκφώνηση, μην περιμένεις να σου γράψουμε λύση.
Για να εξηγούμαι: Μετά από 4 φορές λάθος διατύπωση της άσκησης, θα θέλαμε να βλέπαμε με τα ίδια μας τα μάτια την ακριβή διατύπωση του θέματος στο διαγώνισμα (π.χ. με ποιο ακριβώς σχόλιο συνοδεύεται), και όχι την δική σου επαναδιατύπωση.


χριστ maths
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Ιουν 06, 2016 10:47 pm

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χριστ maths » Παρ Ιουν 10, 2016 12:39 pm

Νομίζω πως δεν χρειάζεται να ανεβάσω κάτι . Αυτή ειναι η διατύπωση του προβλήματος . Αν δεν μπορείτε να το λύσετε εσείς με αυτή την διατύπωση , μπορεί να μου την λύσει κάποιος άλλος χρήστης του mathematica .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13287
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιουν 10, 2016 12:47 pm

χριστ maths έγραψε:Νομίζω πως δεν χρειάζεται να ανεβάσω κάτι . Αυτή ειναι η διατύπωση του προβλήματος . Αν δεν μπορείτε να το λύσετε εσείς με αυτή την διατύπωση , μπορεί να μου την λύσει κάποιος άλλος χρήστης του mathematica .
Εγώ μπορώ να την λύσω την άσκηση αλλά δεν είναι αυτό το ερώτημα. Καλύτερα βάλε μας την εκφώνηση ως έχει και (για να χρησιμοποιήσω μία ωραία αγγλική φράση) "stop beating about the bush", με υπεκφυγές.


χριστ maths
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Ιουν 06, 2016 10:47 pm

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χριστ maths » Παρ Ιουν 10, 2016 1:55 pm

Να λυθεί το Π.Α.Τ. : \frac{dy}{dx}=y-x\sin y , y(1)=0


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3346
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιουν 10, 2016 3:35 pm

Ο κ.Λάμπρου είχε δίκιο που σου έγραφε να βάλεις ολόκληρο το πρόβλημα.

Σου δίνω μια υπόδειξη ώστε να έχεις την ευχαρίστηση ότι το έλυσες μόνη σου.
1) Ελεγξε ότι η Δ.Ε πληρεί τις προυποθέσεις του θεωρήματος μονοσήμαντου για Π.Α.Τ
2)Κοιτάζοντας την αρχική συνθήκη βρές με το 'μάτι' την λύση.

Πιστεύω τώρα να καταλάβεις την επιμονή του κ.Λάμπρου


χριστ maths
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Ιουν 06, 2016 10:47 pm

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χριστ maths » Παρ Ιουν 10, 2016 6:57 pm

Ευχαριστώ πολύ για την υπόδειξη !


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13287
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιουν 11, 2016 3:40 pm

χριστ maths έγραψε:Ευχαριστώ πολύ για την υπόδειξη !
Πες όμως την λύση, γιατί αυτό είναι το ζητούμενο, μια και υποπτεύομαι ότι δεν την έχεις βρει.

Θα δώσω κάποιες ακόμη υποδείξεις:

Το κλειδί είναι η εξής πρόταση που γράφει ο Σταύρος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: 2)Κοιτάζοντας την αρχική συνθήκη βρές με το 'μάτι' την λύση.
την οποία συμπληρώνω λέγοντας "η λύση είναι η απλούστερη, μα τελείως η απλούστερη, που μπορεί να σκεφτεί κανείς". Περιμένω τον χριστ maths να την καταγράψει.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή για να ερμηνεύσω την επιμονή μου στα παραπάνω. Αν κάποιος δεν είχε καταλάβει που το πήγαινα (όπως π.χ. ο χριστ maths), θα νόμιζε ότι έφερνα παράλογα προσκώματα.

Είχα από την αρχή αντιληφθεί ότι η σωστή και πλήρης διατύπωση ήταν ως διαφορική εξίσωση αρχικών τιμών, και όχι γενική. Και αυτό διότι η γενική οδηγεί σε λύση που δεν γράφεται σε κλειστή μορφή. Αντίθετα, ως πρόβλημα αρχικών τιμών είναι απόλυτα τετριμμένο.

Έτσι, βλέποντας την μορφή
χριστ maths έγραψε:\frac{dy}{dx}=y-x*\sin y
και παρά την επιμονή μου είχαμε την διαβεβαίωση
χριστ maths έγραψε:Νομίζω πως δεν χρειάζεται να ανεβάσω κάτι . Αυτή ειναι η διατύπωση του προβλήματος .
στο τέλος η σωστή διατύπωση ήταν άλλη:
χριστ maths έγραψε: \frac{dy}{dx}=y-x\sin y , {\color {red} y(1)=0}
Η διαφορά είναι τεράστια! Το δύσκολο πρόβλημα γίνεται απλούστατο. Προφανώς ο συνάδελφος που έθεσε το ερώτημα σε διαγώνισμα ήθελε να δει να οι φοιτητές του σκέπτονται δημιουργικά ή μήπως παπαγαλίζουν μεθόδους.

Στο μεσοδιάστημα επέμεινα
Mihalis_Lambrou έγραψε: Χωρίς να βεβαιωθούμε ότι διατυπώνεις σωστά την ερώτηση και ότι καταλαβαίνεις την εκφώνηση, μην περιμένεις να σου γράψουμε λύση.
Το ότι έγραψα "καταλαβαίνεις την εκφώνηση" ήταν μήνυμα ότι η άσκηση όπως ήταν διατυπωμένη εδώ, ήταν χωρίς το κύριο σημείο της (που είναι το κλειδί).

Άλλωστε το σημείωσα λέγοντας ότι δεν θέλουμε
Mihalis_Lambrou έγραψε: την δική σου επαναδιατύπωση.
Εισέπραξα βέβαια το ειρωνικό σχόλιο
χριστ maths έγραψε:Αν δεν μπορείτε να το λύσετε εσείς με αυτή την διατύπωση
αλλά ας είναι.


χριστ maths
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Ιουν 06, 2016 10:47 pm

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χριστ maths » Σάβ Ιουν 11, 2016 8:26 pm

Η y=0 είναι μια προφανή λύση . Η συνάρτηση f_(x,y)=y-x\sin y είναι συνεχής στο \displaystyle{ \Bbb{R}^2} και έχει σημείο αρχικών τιμών (xo,yo)=(1,0) . Θεωρούμε ως πεδίο ορισμού της f το ορθογώνιο Δ=[1-\alpha ,1+\alpha ]\times[-\beta ,\beta ] με \alpha ,\beta \succ 0 . Για να δείξω ότι το Π.Α.Τ. έχει μοναδική λύση , αρκεί να δείξω οτι ικανοποιεί μία συνθήκη Lipschitz στο Δ . Πράγματι |f_(x,y1)-f_(x,y2)|=|y1-x\sin y1-(y2-x\sin y2)|\leq |x+y1-(x+y2)|=|y1-y2|


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13287
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιουν 11, 2016 9:30 pm

χριστ maths έγραψε: μια προφανή λύση .
... προφανής λύση

Επί της ουσίας τώρα. Η σκέψη είναι μέσες άκρες σωστή αλλά υπάρχει ένα σοβαρό σφάλμα στο σημείο
χριστ maths έγραψε: |y1-x\sin y1-(y2-x\sin y2)|\leq |x+y1-(x+y2)|
Αντιλαμβάνεσαι γιατί είναι λάθος; Ευτυχώς το αποδεικτέο διορθώνεται αλλά θέλει κάποια επεξεργασία.

Επίσης δεν χρησιμοποίησες ότι τα x,y βρίσκονται σε ένα παραλληλόγραμμο. Θα χρειαστεί και αυτό στην διόρθωση
που απαιτεί η απόδειξή σου.

Θα περιμένουμε να μας πεις τις λεπτομέρειες της διόρθωσης.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13287
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιουν 14, 2016 10:35 am

Προς χριστ maths
Mihalis_Lambrou έγραψε: Θα περιμένουμε να μας πεις τις λεπτομέρειες της διόρθωσης.
Καμιά πρόοδος;


χριστ maths
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Ιουν 06, 2016 10:47 pm

Re: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χριστ maths » Τετ Ιουν 15, 2016 4:07 pm

χριστ maths έγραψε:Η y=0 είναι μια προφανή λύση . Η συνάρτηση f_(x,y)=y-x\sin y είναι συνεχής στο \displaystyle{ \Bbb{R}^2} και έχει σημείο αρχικών τιμών (xo,yo)=(1,0) . Θεωρούμε ως πεδίο ορισμού της f το ορθογώνιο \Delta =[1-\alpha ,1+\alpha ]\times[-\beta ,\beta ] με \alpha ,\beta \succ 0 . Για να δείξω ότι το Π.Α.Τ. έχει μοναδική λύση , αρκεί να δείξω οτι ικανοποιεί μία συνθήκη Lipschitz στο Δ . Πράγματι |f_(x,y1)-f_(x,y2)|=|y1-x\sin y1-(y2-x\sin y2)|\leq |y1-x-(y2-x)|=|y1-y2||


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης