Υπολογισμός αθροίσματος (37)

#1

Έστω

θετικός ακέραιος.

Δείξτε ότι: $\displaystyle{\sum_{i_1,\ldots,i_k\geq1}\frac{1}{i_1\cdots i_k(i_1+\cdots+i_k)^2}=\begin{cases}\frac{(k+1)!}{2}\zeta(k+2) & ,k=1 \\ \\ k!\left(\frac{k+1}{2}\zeta(k+2)-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k-1}\zeta(k+1-i)\zeta(i+1)\right) &, k\geq2\end{cases}}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

r9m · #2

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum\limits_{i_1, \cdots, i_k \ge 1} \frac{1}{i_1 \cdots i_k(i_1 + \cdots + i_k)^2} &= -\sum\limits_{i_1, \cdots, i_k \ge 1} \frac{1}{i_1 \cdots i_k}\int_0^1 x^{i_1+\cdots + i_k-1}\log x\,dx\\&= -\int_0^1 \left(\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{x^i}{i}\right)^k\frac{\log x}{x}\,dx\\&= (-1)^{k+1}\int_0^1 \frac{\log x\log^k (1-x)}{x}\,dx\\&= (-1)^{k+1} \int_0^1 \frac{\log (1-x)}{1-x}\log^k x\,dx\\&= (-1)^{k}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_0^1 H_nx^n\log^k x\,dx\\&= k!\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{H_n}{(n+1)^{k+1}}\\&= k! \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n-1}}{n^{k+1}}\\&= k!\left(\frac{k+1}{2}\zeta(k+2) - \frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{k-1} \zeta(j+1)\zeta(k+1-j)\right) \end{aligned}}$

όπου , χρησιμοποιήσαμε τον τύπο του Euler: $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{H_n}{n^q} = \left(1+\frac{q}{2}\right)\zeta(q+1) - \frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{q-2}\zeta(j+1)\zeta(q-j) \qquad q \ge 2$

τύπος (21) http://mathworld.wolfram.com/EulerSum.html

#3

Όμορφα!

Είναι το 274 του Gaceta de la RSME. Εδώ και σε pdf.

Υπολογισμός αθροίσματος (37)

Υπολογισμός αθροίσματος (37)

Re: Υπολογισμός αθροίσματος (37)

Re: Υπολογισμός αθροίσματος (37)

Μέλη σε σύνδεση