Ακρότατα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

drakpap
Δημοσιεύσεις: 38
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 28, 2010 6:43 pm

Ακρότατα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από drakpap » Παρ Σεπ 02, 2016 11:06 am

Καλημέρα θα ήθελα να κάνω δύο ερωτήσεις
α) αν σε μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών οι μερικές παράγωγοι δεν μηδενίζονται τότε η συνάρτηση δεν έχει τοπικά ακρότατα?
β) δίνεται η συνάρτηση f(x,y, z)=x^2-y^3+z^3 να δείξετε ότι δεν έχει τοπικά ακρότατα. Επειδή δεν λειτουργεί το κριτήριο θα πρέπει να το πάμε με τον ορισμό?
Ευχαριστώ εκ των προτέρων


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2814
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ακρότατα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Σεπ 02, 2016 11:32 am

drakpap έγραψε:α) αν σε μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών οι μερικές παράγωγοι δεν μηδενίζονται τότε η συνάρτηση δεν έχει τοπικά ακρότατα;
Υπάρχουν δύο ασαφή σημεία στην πρόταση. Αν η ερώτηση είναι:
Αν για μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών που ορίζεται σε ανοικτό σύνολο οι μερικές παράγωγοι δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα σε κανένα σημείο του ανοικτού συνόλου, τότε η συνάρτηση δεν έχει τοπικά ακρότατα σε αυτό το σύνολο;
Η απάντηση είναι καταφατική.

drakpap έγραψε:β) δίνεται η συνάρτηση f(x,y, z)=x^2-y^3+z^3 να δείξετε ότι δεν έχει τοπικά ακρότατα. Επειδή δεν λειτουργεί το κριτήριο θα πρέπει να το πάμε με τον ορισμό;
Όχι σε κάθε περίπτωση, αλλά στην συγκεκριμένη η χρήση του Εσσιανού πίνακα δεν λειτουργεί. Στην συγκεκριμένη περίπτωση το μοναδικό σημείο μηδενισμού του {\rm{grad}} \,f είναι το (0,0,0) στο οποίο ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος (οι ιδιοτιμές του είναι οι 2 (απλή) 0 (διπλή)) και επομένως δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στο (0,0,0) έχουμε ή δεν έχουμε τοπικό ακρότατο. Επομένως χρειάζεται να κοιτάξουμε την συμπεριφορά της f σε μια περιοχή του (0,0,0). Κατά μήκος της διεύθυνσης του άξονα y δηλαδή \{x=z=0\} η συνάρτηση γίνεται f(0,y, 0)=-y^3 και παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές, ενώ f(0,0, 0)=0. Άρα η συνάρτηση δεν παρουσιάζει στο (0,0,0) ακρότατο. Και επειδή το (0,0,0) είναι το μοναδικό σημείο μηδενισμού του {\rm{grad}} \,f η f δεν παρουσιάζει σε κανένα άλλο σημείο ακρότατο.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
drakpap
Δημοσιεύσεις: 38
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 28, 2010 6:43 pm

Re: Ακρότατα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από drakpap » Παρ Σεπ 02, 2016 8:30 pm

Σας ευχαριστώ πολύ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης