Ακρότατα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

[drakpap]

Καλημέρα θα ήθελα να κάνω δύο ερωτήσεις
α) αν σε μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών οι μερικές παράγωγοι δεν μηδενίζονται τότε η συνάρτηση δεν έχει τοπικά ακρότατα?
β) δίνεται η συνάρτηση να δείξετε ότι δεν έχει τοπικά ακρότατα. Επειδή δεν λειτουργεί το κριτήριο θα πρέπει να το πάμε με τον ορισμό?
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

[grigkost]

α) αν σε μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών οι μερικές παράγωγοι δεν μηδενίζονται τότε η συνάρτηση δεν έχει τοπικά ακρότατα;

Υπάρχουν δύο ασαφή σημεία στην πρόταση. Αν η ερώτηση είναι:
Αν για μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών που ορίζεται σε ανοικτό σύνολο οι μερικές παράγωγοι δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα σε κανένα σημείο του ανοικτού συνόλου, τότε η συνάρτηση δεν έχει τοπικά ακρότατα σε αυτό το σύνολο;
Η απάντηση είναι καταφατική.

β) δίνεται η συνάρτηση να δείξετε ότι δεν έχει τοπικά ακρότατα. Επειδή δεν λειτουργεί το κριτήριο θα πρέπει να το πάμε με τον ορισμό;

Όχι σε κάθε περίπτωση, αλλά στην συγκεκριμένη η χρήση του Εσσιανού πίνακα δεν λειτουργεί. Στην συγκεκριμένη περίπτωση το μοναδικό σημείο μηδενισμού του είναι το στο οποίο ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος (οι ιδιοτιμές του είναι οι (απλή) (διπλή)) και επομένως δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στο έχουμε ή δεν έχουμε τοπικό ακρότατο. Επομένως χρειάζεται να κοιτάξουμε την συμπεριφορά της σε μια περιοχή του . Κατά μήκος της διεύθυνσης του άξονα δηλαδή η συνάρτηση γίνεται και παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές, ενώ . Άρα η συνάρτηση δεν παρουσιάζει στο ακρότατο. Και επειδή το είναι το μοναδικό σημείο μηδενισμού του η δεν παρουσιάζει σε κανένα άλλο σημείο ακρότατο.

[drakpap]

Σας ευχαριστώ πολύ.