Ωραίο θέμα μιγαδικής..
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Ωραίο θέμα μιγαδικής..
Έστω συνάρτηση άπειρες φορές παραγωγίσιμη στο με συμπαγή φορέα. Θεωρούμε,
.
(α)Είναι η ολόμορφη για και αν ναι γιατί;
(β) Να δειχτεί ότι η έχει αναλυτική συνέχεια σαν ακέραια συνάρτηση σε μιγαδικό επίπεδο.
(γ) Να δειχτεί ότι και γενικότερα ότι για κάθε .
.
(α)Είναι η ολόμορφη για και αν ναι γιατί;
(β) Να δειχτεί ότι η έχει αναλυτική συνέχεια σαν ακέραια συνάρτηση σε μιγαδικό επίπεδο.
(γ) Να δειχτεί ότι και γενικότερα ότι για κάθε .
What's wrong with a Greek in Hamburg?
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ωραίο θέμα μιγαδικής..
(α) Είναι γνωστό πως η είναι ολόμορφη για . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε πως η είναι ολόμορφη για . Κατ' αρχήν επειδή η είναι συνεχής και έχει συμπαγή φορέα, άρα είναι και φραγμένη και άρα το ολοκλήρωμα συγκλίνει για . Επίσης για έχουμε και το τελευταίο ολοκλήρωμα συγκλίνει αφού . Πρέπει βέβαια να δικαιολογήσουμε την εναλλαγή ολοκλήρωσης και μερικής παραγώγισης. Αρκεί να ελέγξουμε ότι
- Η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη για κάθε
- Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη για κάθε
- Για κάθε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη.
(β) Παρατηρούμε (ολοκλήρωση κατά μέλη) ότι . Χρησιμοποιήσαμε ότι και . (Το πρώτο έπεται αφού η είναι φραγμένη και το δεύτερο αφού έχει συμπαγή φορέα.)
Άρα και επαγωγικά .
Η συνάρτηση είναι ολόμορφη για (ίδια απόδειξη αφού επαγωγικά η είναι συνεχής και έχει συμπαγή φορέα) και άρα αποτελεί την αναλυτική συνέχεια της σε αυτό το διάστημα. Άρα η έχει αναλυτική συνέχεια σε όλο το .
(γ) Έχουμε
Δεν βρίσκω την ζητούμενη απάντηση στο (γ) αλλά νομίζω πως η απάντησή μου είναι σωστή. (Επίσης στο (β) πρέπει να ζητάει ότι η έχει αναλυτική συνέχεια και όχι η .)
- Η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη για κάθε
- Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη για κάθε
- Για κάθε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη.
(β) Παρατηρούμε (ολοκλήρωση κατά μέλη) ότι . Χρησιμοποιήσαμε ότι και . (Το πρώτο έπεται αφού η είναι φραγμένη και το δεύτερο αφού έχει συμπαγή φορέα.)
Άρα και επαγωγικά .
Η συνάρτηση είναι ολόμορφη για (ίδια απόδειξη αφού επαγωγικά η είναι συνεχής και έχει συμπαγή φορέα) και άρα αποτελεί την αναλυτική συνέχεια της σε αυτό το διάστημα. Άρα η έχει αναλυτική συνέχεια σε όλο το .
(γ) Έχουμε
Δεν βρίσκω την ζητούμενη απάντηση στο (γ) αλλά νομίζω πως η απάντησή μου είναι σωστή. (Επίσης στο (β) πρέπει να ζητάει ότι η έχει αναλυτική συνέχεια και όχι η .)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες