Ίσα ολοκληρώματα τριγωνομετρικών.

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Ίσα ολοκληρώματα τριγωνομετρικών.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τρί Φεβ 16, 2010 1:44 am

Να δειχθεί ότι \displaystyle \bf \int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)\;dx=\int_{0}^{+\infty}\cos(x^2)\;dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}.


What's wrong with a Greek in Hamburg?

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ίσα ολοκληρώματα τριγωνομετρικών.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Φεβ 16, 2010 9:02 am

Mancar Camoran έγραψε:Να δειχθεί ότι \displaystyle \bf \int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)\;dx=\int_{0}^{+\infty}\cos(x^2)\;dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}.

Και να συμπληρώσω ότι τα ολοκληρώματα αυτά έχουν πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες, έχουν μελετηθεί ευρύτατα, και αξίζει να ασχοληθείτε. Προέρχονται από την οικογένεια των λεγόμενων ολοκληρωμάτων Fresnel,

\int_{0}^{x}\sin (\frac{\pi}{2}t^2)\;dt,\,\,\int_{0}^{x}\cos(\frac{\pi}{2}t^2)\;dt}

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ίσα ολοκληρώματα τριγωνομετρικών.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Παρ Φεβ 26, 2010 11:01 pm

Έχω βρει μια λύση εδώ http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral εκεί που λέει evaluation. Ας το δούμε όμως αναλυτικότερα μιας
και δεν κάνει τις πράξεις.

\displaystyle{\color{red} \rule{600pt}{3pt}}

Εφόσον η \displaystyle{\bf e^{i z^2}} είναι αναλυτική στο \displaystyle{\mathbb{C}} έχουμε, \displaystyle{\colorbox{cyan}{\boxed{\oint_{\partial S_{R}}e^{iz^2}\;dz=0}} όπου \displaystyle{\bf \partial S_{R}} το σύνορο του σκιαγραφημένου τομέα \displaystyle{\bf S_{R}}.
\displaystyle{\bf \oint_{\partial S_{R}}e^{iz^2}\;dz=\int_{0}^{R}e^{it^2}\;dt+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{iR^2\cdot e^{2i\theta}}iRe^{i\theta}\(d\theta}+\bf \int_{R}^{0}e^{-t^2}e^{\frac{\pi}{4}i}\;dt \displaystyle{\bf(\color{red} \dagger}).
Καθώς \displaystyle{\bf R\rightarrow +\infty}}, το όριο \displaystyle{\bf\lim_{R\rightarrow +\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{iR^2\cdot e^{2i\theta}}iRe^{i\theta}\;d\theta}\bf=0}. Έτσι λοιπόν η ισότητα \displaystyle{\bf({\color{red}\dagger}) για \displaystyle{\bf R\rightarrow +\infty}} γίνεται
\displaystyle{\bf \int_{0}^{+\infty}e^{it^2}\;dt=e^{\frac{\pi}{4}i}\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt\Rightarrow}
\displaystyle{\bf \int_{0}^{+\infty}\sin(t^2)\;dt=\int_{0}^{+\infty}\cos(t^2)\;dt=\sqrt{\frac{\pi}{8}}=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}}.
Συνημμένα
my.png
my.png (26.87 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες