Κοινό σταθερό σημείο
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Κοινό σταθερό σημείο
Συνέχεια από εδώ.
Είναι γνωστό θέμα και πρέπει να το έχουμε δεί. Δεν το βρήκα στην αναζήτηση και το προτείνω.
Έστω συνεχείς συναρτήσεις.
Υποθέτουμε ότι η είναι αύξουσα και .
Δείξτε ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν κοινό σταθερό σημείο, δηλαδή
υπάρχει τέτοιος, ώστε
Είναι γνωστό θέμα και πρέπει να το έχουμε δεί. Δεν το βρήκα στην αναζήτηση και το προτείνω.
Έστω συνεχείς συναρτήσεις.
Υποθέτουμε ότι η είναι αύξουσα και .
Δείξτε ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν κοινό σταθερό σημείο, δηλαδή
υπάρχει τέτοιος, ώστε
Στράτης Αντωνέας
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Κοινό σταθερό σημείο
Είναι εύκολο να δούμε ότι υπάρχει
με
Ορίζουμε την ακολουθία
Δείχνουμε επαγωγικά ότι
Πράγματι για ισχύει
Ενω
Επειδή
(η συνάρτηση είναι αύξουσα)
προκύπτει ότι η ακολουθία είναι μονότονη.
Αφου είναι και φραγμένη συγκλίνει σε ένα
Επειδή και η συνάρτηση είναι συνεχής προκύπτει
Λογω συνέχειας θα έχουμε ότι
Απο μοναδικότητα ορίου παίρνουμε
και η απόδειξη είναι πλήρης.
με
Ορίζουμε την ακολουθία
Δείχνουμε επαγωγικά ότι
Πράγματι για ισχύει
Ενω
Επειδή
(η συνάρτηση είναι αύξουσα)
προκύπτει ότι η ακολουθία είναι μονότονη.
Αφου είναι και φραγμένη συγκλίνει σε ένα
Επειδή και η συνάρτηση είναι συνεχής προκύπτει
Λογω συνέχειας θα έχουμε ότι
Απο μοναδικότητα ορίου παίρνουμε
και η απόδειξη είναι πλήρης.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 17 επισκέπτες