Maximum

mick7 · #1

Tην είδα σε ένα βιβλίο Problem Solving και θα ήθελα την γνώμη σας.

Να βρεθεί το $\displaystyle{{\max _{x > 0}}(\sin x + \sin \frac{1}{x})}$

#2

Μια ανισότητα η -οποία απαιτεί απόδειξη- και ενδεχομένως βοηθάει, δίνεται με απόκρυψη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mick7 · #3

grigkost έγραψε:Μια ανισότητα η -οποία απαιτεί απόδειξη- και ενδεχομένως βοηθάει, δίνεται με απόκρυψη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$\sin{x}+\sin\frac{1}{x}< 1+\dfrac{1}{x}\,, \quad x>0\,.$

Ενδιαφέρον...κ.Κωστάκο

#4

mick7 έγραψε:
grigkost έγραψε:Μια ανισότητα η -οποία απαιτεί απόδειξη- και ενδεχομένως βοηθάει, δίνεται με απόκρυψη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$\sin{x}+\sin\frac{1}{x}< 1+\dfrac{1}{x}\,, \quad x>0\,.$
Ενδιαφέρον...κ.Κωστάκο

Χμμ, κοιτάζοντάς το για δεύτερη φορά, δεν το βρίσκω και πολύ ενδιαφέρον.
Μάλιστα ισχύει κάτι πιο ισχυρό:

$\displaystyle\sin{x}+\sin\tfrac{1}{x}<1-\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{N}\frac{(-1)^k}{(2k-1)!\,x^{2k-1}}\,, \quad x>0\,,$

για αρκετά μεγάλα

. Αλλά και πάλι δεν βλέπω κάτι χρήσιμο..
Μάλλον πρέπει να πάμε "πιο βαθειά"...

#5

grigkost έγραψε: Αλλά και πάλι δεν βλέπω κάτι χρήσιμο..
Μάλλον πρέπει να πάμε "πιο βαθειά"...

Η σωστή απάντηση είναι ότι έχουμε μοναδικό ολικό μέγιστο στο x=1

, δηλαδή ισχύει

$\sin x + \sin \frac {1}{x} \le 2 \sin 1 \approx 1,6829$ με ισότητα στο x=1

.

Έχω σχολική απόδειξη αλλά έχει μία κάπως κοπιαστική περιπτωσιολογία. Θα την γράψω αν δεν την γράψει άλλος.

Το πρώτο βήμα είναι η παρατήρηση ότι λόγω συμμετρίας μπορούμε να εργαστούμε για $x\ge 1$ . Επίσης μπορούμε να περιοριστούμε μόνο στο $[1, \pi]$ γιατί (εδώ χρειάζεται κάποια περιπτωσιολογία) δείχνουμε ότι σίγουρα το μέγιστο δεν είναι για $x\ge \pi$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Το ζητούμενο είναι $2\sin 1$

Αρκεί να το δούμε για $x\in (0,1]$

Για $x\in (0,\frac{2}{\pi }]\Rightarrow \sin x+\sin \frac{1}{x}\leq \\sin \frac{2}{\pi }+1< 2\sin 1$

Αρα πρέπει να το δείξουμε στο $[\frac{2}{\pi },1]$ Τα παρακάτω είναι σε αυτό το διάστημα.

Θέτουμε $f(x)=\sin x+\sin \frac{1}{x}$

$f'(x)=\frac{1}{x^{2}}(x^{2}\cos x-\cos \frac{1}{x})$ Θελουμε να είναι μη αρνητική.

Επειδή η $\cos \frac{1}{x}$ είναι κοίλη αρκεί να δείξουμε ότι

$h(x)=x^{2}\cos x-\cos 1-\sin 1(x-1)\geq 0$

$h(1)=0,h(\frac{2}{\pi })> 0$
Μελετώντας βρίσκουμε ότι η

είναι κοίλη.
Ετσι προκύπτει το ζητούμενο.

Σημείωση.
Οι πράξεις γίνανε με κομπιουτεράκι (ελπίζω να είναι σωστές)
Αν κάνει κάποιος την γραφική παράσταση θα το δούμε καθαρά.

Συμπλήρωμα.
Ευχαριστώ τον Γιώργο Απόκη που έδωσε την γραφική παράσταση.

Γιώργος Απόκης · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: Η σωστή απάντηση είναι ότι έχουμε μοναδικό ολικό μέγιστο στο , δηλαδή ισχύει
$\sin x + \sin \frac {1}{x} \le 2 \sin 1 \approx 1,6829$ με ισότητα στο .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Το ζητούμενο είναι $2\sin 1$
Αν κάνει κάποιος την γραφική παράσταση θα το δούμε καθαρά.

Aπλώς επαληθεύω και γραφικά το αποτέλεσμα

: 2sin(1).png (12.3 KiB) Προβλήθηκε 926 φορές

#8

Mihalis_Lambrou έγραψε:
grigkost έγραψε: Αλλά και πάλι δεν βλέπω κάτι χρήσιμο..
Μάλλον πρέπει να πάμε "πιο βαθειά"...
...Έχω σχολική απόδειξη...

Μιχάλη,

ως γνωστόν, ακόμα και οι καλύτεροι "βουτηχτές" πηγαίνουν, ενίοτε, σε λανθασμένη κατεύθυνση.
Πόσο μάλλον ο ταπεινός υπογράφων!

mick7 · #9

Ευχαριστώ για την συμμετοχή και τις λύσεις σας...το πρόβλημα είναι από το βιβλίο "Principles of Mathematical Problem Solving " των Erickson-Flowers.

Maximum

Maximum

Re: Maximum

Re: Maximum

Re: Maximum

Re: Maximum

Re: Maximum

Re: Maximum

Re: Maximum

Re: Maximum

Μέλη σε σύνδεση