Σημεία συσσώρευσης, limsup και liminf

Mathletic · #1

Γειά σας!!

Θέλω να βρω τα $\lim\sup$ , $\lim\inf$ και τα σημεία συσσώρευσης των παρακάτω ακολουθιών:
1. $a_n=(-1)^n\frac{3n+4}{n+1}$
2. $a_n=\sqrt[n]{n+(-1)^nn}$
3. $a_n=\left ( \frac{n+(-1)^n}{n}\right )^n$
4. $a_n=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}$

Έχω κάνει τα εξής:

1. $a_{2k}=(-1)^{2k}\frac{3(2k)+4}{2k+1}=\frac{6k+4}{2k+1}\Rightarrow \lim_{k\rightarrow \infty}a_{2k}=3$
$a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}\frac{3(2k-1)+4}{2k-1+1}=-\frac{6k+1}{2k}\Rightarrow \lim_{k\rightarrow \infty}a_{2k-1}=-3$
Οπότε η (a_n)

έχει τα σημεία συσσώρευσης τα

και

.
Άρα $\lim\sup a_n=3$ και $\lim\inf a_n=-3$ .

2. $a_{2k}=\sqrt[2k]{2k+(-1)^{2k}2k}=\sqrt[2k]{4k}=2^{\frac{1}{k}}\left ( k^{\frac{1}{k}}\right )^{\frac{1}{2}}\Rightarrow \lim_{k\rightarrow \infty}a_{2k}=1$
$a_{2k-1}=\sqrt[2k-1]{2k-1+(-1)^{2k-1}(2k-1)}=0\Rightarrow \lim_{k\rightarrow \infty}a_{2k-1}=0$
Οπότε η (a_n)

έχει τα σημεία συσσώρευσης τα

και

.
Άρα $\lim\sup a_n=1$ και $\lim\inf a_n=0$ .

3. $a_{2k}=\left ( \frac{2k+(-1)^{2k}}{2k}\right )^{2k}=\left (\frac{2k+1}{2k}\right )^{2k}=\left (1+\frac{1}{2k}\right )^{2k}\Rightarrow \lim_{k\rightarrow \infty}a_{2k}=e$
$a_{2k-1}=\left ( \frac{2k-1+(-1)^{2k-1}}{2k-1}\right )^{2k-1}=\left (\frac{2k-1-1}{2k-1}\right )^{2k-1}=\left (1-\frac{1}{2k-1}\right )^{2k-1}\Rightarrow \lim_{k\rightarrow \infty}a_{2k-1}=e^{-1}$
Οπότε η (a_n)

έχει τα σημεία συσσώρευσης τα

και $e^{-1}$ .
Άρα $\lim\sup a_n=e$ και $\lim\inf a_n=e^{-1}$ .

Είναι σωστά αυτά που έχω κάνει μέχρι εδώ;

4. $a_n=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}$
Υπολόγισα ττις υπακολουθίες $a_{2k}$ και $a_{2k-1}$ αλλά δεν μπόρεσα να βρω το όριο τους. Υπολογίζουμε με άλλο τρόπο σε αυτή την περίπτωση τα σημεία συσσώρευσης;

#2

Mathletic έγραψε: Είναι σωστά αυτά που έχω κάνει μέχρι εδώ;

Σωστά αλλά χρειάζεται μία προσθήκη: Βρήκες δύο σημεία συσσώρεσης στην κάθε περίπτωση αλλά πρέπει να αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν άλλα. Είναι μεν απλό, αλλά απαραίτητο.

Mathletic έγραψε:
4. $a_n=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}$
Υπολόγισα ττις υπακολουθίες $a_{2k}$ και $a_{2k-1}$ αλλά δεν μπόρεσα να βρω το όριο τους. Υπολογίζουμε με άλλο τρόπο σε αυτή την περίπτωση τα σημεία συσσώρευσης;

Μου κάνει εντύπωση που δεν βρίσκεις το όριο. Εδώ ξέρεις το όριο της $\sqrt [n] n$ που έχει "πολύ μεγαλύτερη υπόρριζη ποσότητα" από την $\sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}$ . Τολμώ να συστήσω να βλέπεις την ουσία των πραγμάτων και όχι σκέτα τους τύπους χωρίς την κατανόησή τους.

Όπως και να είναι, ας δώσω υπόδειξη για το όριο που δεν βρήκες (και ίσως με αυτό κατανοήσεις γιατί αναφέρθηκα στο $\sqrt [n] n$ ).

Είναι

$1 \le \sqrt[n]{1+\frac{1}{n}} \le \sqrt[n]{2}$

Τέλος, σε αυτή την άσκηση δεν πρέπει να εργαστείς με τις $a_{2k}$ και $a_{2k-1}$ αλλά με τις
$a_{4k}, \, a_{2k+1}, \, a_{4k+2}, \, a_{2k+3}.$

Mathletic · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Mathletic έγραψε: Είναι σωστά αυτά που έχω κάνει μέχρι εδώ;
Σωστά αλλά χρειάζεται μία προσθήκη: Βρήκες δύο σημεία συσσώρεσης στην κάθε περίπτωση αλλά πρέπει να αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν άλλα. Είναι μεν απλό, αλλά απαραίτητο.

Το

είναι είτε άρτιο είτε περιττό. Αφού έχουμε βρεί τα όρια για τις υπακολουθίες $a_{2k}$ και $a_{2k-1}$ , έχουμε οτι οι ακολουθίες αυτές συγκλίνουν και άρα τα σημεία συσσώρευσεις είναι μοναδικά.

Είναι σωστή η απόδειξη αυτή;

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Mathletic έγραψε:
4. $a_n=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}$
Υπολόγισα ττις υπακολουθίες $a_{2k}$ και $a_{2k-1}$ αλλά δεν μπόρεσα να βρω το όριο τους. Υπολογίζουμε με άλλο τρόπο σε αυτή την περίπτωση τα σημεία συσσώρευσης;
Μου κάνει εντύπωση που δεν βρίσκεις το όριο. Εδώ ξέρεις το όριο της $\sqrt [n] n$ που έχει "πολύ μεγαλύτερη υπόρριζη ποσότητα" από την $\sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}$ . Τολμώ να συστήσω να βλέπεις την ουσία των πραγμάτων και όχι σκέτα τους τύπους χωρίς την κατανόησή τους.

Όπως και να είναι, ας δώσω υπόδειξη για το όριο που δεν βρήκες (και ίσως με αυτό κατανοήσεις γιατί αναφέρθηκα στο $\sqrt [n] n$ ).

Είναι

$1 \le \sqrt[n]{1+\frac{1}{n}} \le \sqrt[n]{2}$

Το όριο της $\sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}$ είναι

.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τέλος, σε αυτή την άσκηση δεν πρέπει να εργαστείς με τις $a_{2k}$ και $a_{2k-1}$ αλλά με τις
$a_{4k}, \, a_{2k+1}, \, a_{4k+2}, \, a_{2k+3}.$

Πώς ξέρουμε σε κάθε περίπτωση με ποιές υπακολουθίες πρέπει να εργαστούμε;

#4

Mathletic έγραψε: τα σημεία συσσώρευσεις είναι μοναδικά.

Δεν έχει νόημα να λες ότι "είναι μοναδικά", αφού είναι δύο. Το ερώτημα που σου έθεσα είναι γιατί δεν υπάρχει τρίτο. Είναι απλό, αλλά πρέπει να δώσεις κάποιο λόγο: Συγκεκριμένα πρέπει να πεις ότι α) οι δύο ακολουθίες που έγραψες είναι ξένες και β) εξαντλούν όλους τους όρους.

Mathletic έγραψε: Πώς ξέρουμε σε κάθε περίπτωση με ποιές υπακολουθίες πρέπει να εργαστούμε;

Μα είναι προφανές!

Στην περίπτωση του (-1)^n

είναι σαφές ότι πρέπει να εξετάσεις τις εκδοχές $n=2k, \, n=2k+1$ διότι σε αυτά αλλάζει η τιμή του όρου $\pm 1$ . Συγκεκριμένα, η (-1)^n

είναι περιοδική με περίοδο

καθώς πάει $-1, \, +1$ και λοιπά.

Στην περίπτωση της $(-1)^{n(n+1)/2}$ η περιοδικότητα είναι ανά τέσσερις όρους αφού πάει $-1, \, -1, \, + 1, \, +1$ .

Mathletic · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Mathletic έγραψε: Πώς ξέρουμε σε κάθε περίπτωση με ποιές υπακολουθίες πρέπει να εργαστούμε;
Μα είναι προφανές!

Στην περίπτωση του είναι σαφές ότι πρέπει να εξετάσεις τις εκδοχές $n=2k, \, n=2k+1$ διότι σε αυτά αλλάζει η τιμή του όρου $\pm 1$ . Συγκεκριμένα, η είναι περιοδική με περίοδο καθώς πάει $-1, \, +1$ και λοιπά.

Στην περίπτωση της $(-1)^{n(n+1)/2}$ η περιοδικότητα είναι ανά τέσσερις όρους αφού πάει $-1, \, -1, \, + 1, \, +1$ .

Έχουμε ότι η $b_n=(-1)^{n(n+1)/2}$ είναι περιοδική με περίοδο 4, αφού b_1=-1, b_2=-2, b_3=1, b_4=1, b_5=-1

. Άρα $\lim\inf b_n=-1$ και $\lim\sup b_n=1$ .
Επίσης έχουμε ότι $c_n=\sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}\rightarrow 1$ . Άρα $\lim\inf c_n=\lim\sup c_n=1$ .

Έχουμε ότι αφού όρια των b_n, c_n

υπάρχουν, ισχύει $\lim\sup (b_nc_n)=\lim\sup b_n \lim \sup c_n=1$ και $\lim\inf (b_nc_n)=\lim\inf b_n \lim \inf c_n=-1$ , σωστά;

#6

Mathletic έγραψε: Έχουμε ότι η $b_n=(-1)^{n(n+1)/2}$ είναι περιοδική με περίοδο 4, αφού .

Πέρα από το τυπογραφικό σφάλμα για το b_2

, το παραπάνω ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Είναι απλά έλεγχος μικρών δεικτών. Σε διαγώνισμα θα είχες πρόβλημα!

Mathletic έγραψε: Έχουμε ότι αφού όρια των υπάρχουν, ισχύει $\lim\sup (b_nc_n)=\lim\sup b_n \lim \sup c_n=1$

Το όριο του b_n

ΔΕΝ υπάρχει. Άλλο εννοείς, Αν πάλι εργαστείς μόνο με limsup, ο παραπάνω τύπος δεν ισχύει. Πάρε για παράδειγμα b_n

ίσον

εναλλάξ και c_n

ίσον

, οπότε

. Δες το!

Θα σε παρότρυνα "να μην σκέφτεσε φωναχτά". Θέλω να πω ότι καλό είναι να γράφεις στο φόρουμ ΜΟΝΟ αφού έχεις σκεφτεί επαρκώς, και σε βάθος, αυτά που έχεις να γράψεις. Μεγάλη συσσώρευση σφαλμάτων σε τόσο λίγα, καλό είναι να αποφεύγεται. Ανθρώπινα βέβαια τα λάθη και με χαρά να σε καθοδηγήσουμε αλλά για τώρα δες τα παραπάνω ως την καλοπροαίρετη συμβουλή που σου δίνω. Συνεχίζουμε όταν θα έχεις την απόλυτη πεποίθηση ότι αυτά που γράφεις είναι σωστά.

Σημεία συσσώρευσης, limsup και liminf

Σημεία συσσώρευσης, limsup και liminf

Re: Σημεία συσσώρευσης, limsup και liminf

Re: Σημεία συσσώρευσης, limsup και liminf

Re: Σημεία συσσώρευσης, limsup και liminf

Re: Σημεία συσσώρευσης, limsup και liminf

Re: Σημεία συσσώρευσης, limsup και liminf

Μέλη σε σύνδεση