Ολοκλήρωμα γινομένου συνημιτόνων

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 757
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα γινομένου συνημιτόνων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Τετ Φεβ 24, 2010 1:30 pm

Να προσδιορίσετε τους φυσικούς n, ώστε το ολοκλήρωμα

I_{n}=\int_{0}^{2\pi}\cos(x)\cdot\cos(2x)\cdots\cos(nx)dx,
να είναι διαφορετικό του μηδέν.


Νίκος Κατσίπης



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα γινομένου συνημίτονων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Φεβ 24, 2010 3:12 pm

Ένα σκεπτικό το οποίο δεν καθο-ρύζι μεν τα n, αλλά δίνει μια, κατά τη γνώμη μου, εξαιρετικά ενδιαφέρουσα συσχέτιση.

Έχουμε τον τύπο \displaystyle{2^{n-1}\cos(a_{1})\cdot\ldots\cdot\cos(a_{n})=\sum\cos(a_{1}\pm\cdots\pm a_{n})}, όπου το άθροισμα λαμβάνεται ως προς όλες τις διατάξεις προσήμων των \displaystyle{a_{2},\ldots,a_{n}}.

Έπεται ότι \displaystyle{I_{n}=\frac{1}{2^{n-1}}\sum\int_{0}^{2\pi}\cos\big((1\pm2\pm3\cdots\pm n)x\big)\,dx}.

Παρατηρούμε τώρα ότι

\displaystyle{I_{n}\neq0} \Leftrightarrow ο n είναι τέθοιος ώστε να υπάρχει μια διάταξη προσήμων των 2,3,\ldots,n για την οποία είναι \displaystyle{1\pm2\pm3\pm\cdots\pm n=0}.

Φυσικά αυτό δε λύνει την άσκηση, αλλά, αν η άσκηση λυθεί με κάποιον άλλο τρόπο, προσ2-ρύζι τους φυσικούς με μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1393
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ολοκλήρωμα γινομένου συνημίτονων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Φεβ 24, 2010 4:12 pm

Απο το σημειο που την εφερε ο Αναστασης, ειναι σχετικα απλο να αποδειχθει οτι οι φυσικοι ειναι οι ισοτιμοι με τα 0, 3 \ \mod 4.

Οι ισοτιμιες 1,2 απορριπτονται γιατι το αθροισμα 1+2+3+...+n ειναι περιττο.

Στη συνεχεια, αποδεικνυουμε οτι οι αριθμοι 3,4 ειναι καταλληλοι και στη συνεχεια με επαγωγη το επεκτεινουμε σε ολοκληρες τις ισοτιμιες.

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 757
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα γινομένου συνημίτονων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Τετ Φεβ 24, 2010 11:46 pm

Πολύ ωραία όλα!

Αν γράψουμε \cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, έχουμε την απόδειξη του τύπου που μας έδωσε ο Αναστάσης.

Αν δεν χρησιμοποιήσουμε το τύπο θα έχουμε (ουσιαστικά δεν διαφέρει καθόλου από την προηγούμενη απόδειξη):

\displaystyle{I_{n}=\int_{0}^{2\pi}\prod_{k=1}^{n}\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}dx=\frac{1}{2^n}\sum_{\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n}\in\{\pm1\}}\int_{0}^{2\pi}e^{i(\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}+\ldots+n\epsilon_{n})x}dx}.

Είναι γνωστό ότι \int_{0}^{2\pi}e^{ikx}dx=\left\{ 
  \begin{array}{ll} 
   0 , &k\neq0 \\ 
    1, & k=0. 
  \end{array} 
\right.

Οπότε χρησιμοποιώντας το παραπάνω και ότι τα ολοκληρώματα στο άθροισμα είναι θετικά ή μηδέν, έχουμε ότι:

I_{n}\neq0 αν και μόνο αν υπάρχουν \epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n}\in\{\pm1\} τέτοια ώστε

\epsilon_{1}+2\epsilon_{2}+\ldots+n\epsilon_{n}=0.

Οπότε,

0\equiv \epsilon_{1}+2\epsilon_{2}+\ldots+n\epsilon_{n}=1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} \mod2,

άρα (όπως έγραψε και ο Δημήτρης, με επαγωγή για το αντίστροφο (*)) n\equiv0 ή 3 \mod4.

( (*): Να σημειώσω ότι για το αντίστροφο στο επαγωγικό βήμα, θα μας βοηθήσει το εξής

αν \epsilon_{1}+2\epsilon_{2}+\ldots+n\epsilon_{n} τότε και \epsilon_{1}+2\epsilon_{2}+\ldots+n\epsilon_{n}-(n+1)+(n+2)+(n+3)-(n+4)=0.)

Νίκος Κατσίπης


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα γινομένου συνημίτονων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Φεβ 25, 2010 6:33 pm

Είναι το πρόβλημα Α5 από τον Putnam του 1985 (εκεί ζήταγε τα 1\leq n\leq10).


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες