Συνεχής χωρίς αλλαγή προσήμου στις ρίζες

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3322
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Συνεχής χωρίς αλλαγή προσήμου στις ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 16, 2017 7:27 pm

Να κατασκευασθεί συνεχής συνάρτηση f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}
ώστε να ισχύουν τα παρακάτω
1)f(0)=f(1)=0

2)Το σύνολο \left \{ x:x\in [0,1]f(x)=0 \right \} είναι άπειρο

3)Δεν υπάρχει διάστημα (c,d)\subset [0,1] ώστε x\in (c,d)\Rightarrow f(x)=0

4) Κάθε ρίζα της f έχει την ιδιότητα:
f(r)=0 για κάθε \delta > 0 σε τουλάχιστον ένα από
(r-\delta ,r) , (r,r+\delta ) υπάρχουν x_{1},x_{2}
με f(x_{1})< 0,f(x_{2})> 0


συμπλήρωμα.Εβαλα ακόμα μια συνθήκη που χρειάζεται για το viewtopic.php?f=53&t=57494
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Πέμ Φεβ 16, 2017 9:00 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13165
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνεχής χωρίς αλλαγή προσήμου στις ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Φεβ 16, 2017 8:03 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Να κατασκευασθεί συνεχής συνάρτηση f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}
ώστε να ισχύουν τα παρακάτω
1)f(0)=f(1)=0

2)Το σύνολο \left \{ x:x\in [0,1]f(x)=0 \right \} είναι άπειρο

3)Σε κάθε ρίζα της η f δεν αλλάζει πρόσημο.
Δηλαδή αν f(r)=0 τότε δεν υπάρχει \delta > 0 ώστε
f(x)\geq 0 για x\in (r-\delta ,r) και f(x)\leq 0 για x(r,r+\delta )
η ανάποδα.

\displaystyle{ \left ( x \sin \frac {\pi}{x} \right ) ^2} για 0<x\le 1 και 0 στο 0.
Συνημμένα
xsin1x.png
xsin1x.png (4.45 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3322
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνεχής χωρίς αλλαγή προσήμου στις ρίζες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 16, 2017 8:25 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Να κατασκευασθεί συνεχής συνάρτηση f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}
ώστε να ισχύουν τα παρακάτω
1)f(0)=f(1)=0

2)Το σύνολο \left \{ x:x\in [0,1]f(x)=0 \right \} είναι άπειρο

3)Σε κάθε ρίζα της η f δεν αλλάζει πρόσημο.
Δηλαδή αν f(r)=0 τότε δεν υπάρχει \delta > 0 ώστε
f(x)\geq 0 για x\in (r-\delta ,r) και f(x)\leq 0 για x(r,r+\delta )
η ανάποδα.

\displaystyle{ \left ( x \sin \frac {\pi}{x} \right ) ^2} για 0<x\le 1 και 0 στο 0.
Συγνώμη Μιχάλη αλλά άλλαξα την εκφώνηση.Την συνάρτηση την χρειάζομαι σε άλλο post και ενώ την είχα στο μυαλό μου δεν την
διατύπωσα σωστά,


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συνεχής χωρίς αλλαγή προσήμου στις ρίζες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Φεβ 16, 2017 9:08 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Να κατασκευασθεί συνεχής συνάρτηση f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}
ώστε να ισχύουν τα παρακάτω
1)f(0)=f(1)=0

2)Το σύνολο \left \{ x:x\in [0,1]f(x)=0 \right \} είναι άπειρο

3)Δεν υπάρχει διάστημα (c,d)\subset [0,1] ώστε x\in (c,d)\Rightarrow f(x)=0

4) Κάθε ρίζα της f έχει την ιδιότητα:
f(r)=0 για κάθε \delta > 0 σε τουλάχιστον ένα από
x\in (r-\delta ,r) , (r,r+\delta ) υπάρχουν x_{1},x_{2}
με f(x_{1})< 0,f(x_{2})> 0


συμπλήρωμα.Εβαλα ακόμα μια συνθήκη που χρειάζεται για το viewtopic.php?f=53&t=57494
Μια ιδέα (ελπίζω να λειτουργεί):

1. Αν ο x ανήκει στο σύνολο Cantor, τότε f(x) = 0.

2. Αν \displaystyle x \in \left( \frac{a}{3^n}, \frac{a+1}{3^n} \right), a \equiv 1 \mod 3 τότε \displaystyle f(x) = \left( - \frac{1}{2} \right)^n \sin \left( \pi (3^n x - a) \right)


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3322
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνεχής χωρίς αλλαγή προσήμου στις ρίζες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 16, 2017 9:19 pm

Σωστά Δημήτρη.
Εγώ βέβαια την έφτιαξα βήμα βήμα.Χωρίς τύπο.

Ενα πλήρες αναλυτικό κείμενο για το σύνολο Cantor υπάρχει στο
http://web.math.ucsb.edu/~padraic/ucsb_ ... tation.pdf


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες