Ανισότητα

M.S.Vovos · #1

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ . Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx\int_{0}^{1}x^{4}f(x)dx\leqslant \frac{4}{15}\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx}$ Πότε ισχύει η ισότητα;

Η πηγή θα δοθεί μετά την λύση.

Φιλικά,
Μάριος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Λόγω ομοιογένειας μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\int_{0}^{1}f(x)dx=1$

Οι γραμμικοί συνδυασμοί των $1,x^{4},x^{2},x^{6},x^{8},...x^{2k},...$

είναι πυκνό σύνολο στον $L^{2}[0,1]$

καθώς και στον $C[0,1],\left \| \right \|_{\infty }$

Κάνοντας ορθοκανονικοποίηση στο παραπάνω σύνολο παίρνουμε

$p_{1}(x)=1,p_{2}(x)=\frac{15}{4}(x^{4}-\frac{1}{5}),p_{3}(x),....$

Ετσι είναι $f(x)=1+a_{2}p_{2}(x)+....$

Εχουμε $\int_{0}^{1}f(x)x^{4}dx=\int_{0}^{1}f(x)(x^{4}-\frac{1}{5})dx+\frac{1}{5}=\int_{0}^{1}f(x)p_{2}(x)\frac{4}{15}dx+\frac{1}{5}=\frac{1}{5}+\frac{4}{15}a_{2}$

Επίσης είναι $\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx=1+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...$

Αρκεί να αποδείξουμε ότι $\frac{1}{5}+\frac{4}{15}a_{2}\leq \frac{4}{15}(1+a_{2}^{2})$

Η τελευταία είναι ισοδύναμη με την $(2a_{2}-1)^{2}\geqslant 0$

που φυσικά ισχύει.

Είναι φανερό από τα παραπάνω ότι έχουμε ισότητα αν $f(x)=1+\frac{1}{2}p_{2}(x)$

Παρατήρηση.
Η ανισότητα ισχύει για κάθε $f\in L^{2}[0,1]$

Συμπλήρωση.Προσέθεσα κάποια επιπλέον στοιχεία για να γίνει σαφέστερη η λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Αν υποθέσουμε ότι $\int_{0}^{1}f(x)dx=1$

Η σχέση $\int_{0}^{1}(f(x)-1-\frac{15}{8}(x^{4}-\frac{1}{5}))^{2}dx\geq 0$
μας δίνει την ανισότητα.

Το γράφω για να καταλάβουν κάποιοι πως γίνονται τα ακροβατικά.
Φυσικά με δεύτερο ακροβατικό μπορούμε να την βγάλουμε χωρίς να υποθέσουμε την $\int_{0}^{1}f(x)dx=1$ .

M.S.Vovos · #4

Πολύ ωραία Σταύρο! Ευχαριστώ.

Πηγή: AoPS

Φιλικά,
Μάριος

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση