Σειρά με λογάριθμο

#1

Να υπολογισθεί η συγκλίνουσα σειρά

$\displaystyle{\mathop{\sum}\limits_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n\,\log{n}}\,.}$

Σημείωση: Δεν έχω λύση.

Tolaso J Kos · #2

Δεν έχω απάντηση αλλά καταθέτω κάποιες σκόρπιες σκέψεις που ίσως βοηθήσουν κάποιον να φτάσει στη λύση, αν και πολύ αμφιβάλλω ότι υπάρχει απάντηση συμπεριλαμβανομένων και ειδικών συναρτήσεων.

Ας ορίσουμε τη συνάρτηση
$\displaystyle{f(s)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^s \log n} , \; s \geq 1}$ οπότε
$\displaystyle{\begin{aligned} f'(s) &= -\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n \log n}{n^s \log n} \\ &= - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^s}\\ &= \zeta(s) -2^{1-s} \zeta(s) -1 \end{aligned}}$ και μένει να γυρίσουμε πίσω . Πώς ;

Βέβαια υπάρχει μία σχέση από μία τριγωνομετρική σειρά αλλά δε βλέπω πώς βοηθάει ... Ίσως να τη δώσω αργότερα. Θα ταν σίγουρα καλύτερα βέβαια αν αυτό το $\ln$ ήταν στον αριθμητή. Τότε θα χαμε το εξής (γνωστό) αποτέλεσμα
$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \log n}{n} = \gamma \log 2 - \frac{\log^2 2}{2}}$

η οποία έχει συζητηθεί στο forum.

Tolaso J Kos · #3

Ισχύει το εξής:
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \pi x}{n^s} = \frac{\left ( 2\pi \right )^s}{4 \Gamma(s)} \sec \left ( \frac{\pi s}{2} \right ) \left [ \zeta \left ( 1 - s, 1-\frac{x}{2} \right ) + \zeta \left ( 1-s , \frac{x}{2} \right ) \right ]}$ Παραγωγίζοντας ως προς

και στη συνέχεια θέτοντας s=1

παίρνουμε τη ζητούμενη σειρά εκφρασμένη με τις τιμές της $\zeta$ Hurwitz και μάλλον αυτό είναι και το καλύτερο ( ; ) που μπορούμε να κάνουμε.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Σειρά με λογάριθμο

Σειρά με λογάριθμο

Re: Σειρά με λογάριθμο

Re: Σειρά με λογάριθμο

Μέλη σε σύνδεση