Εύρεση συναρτήσεων!

M.S.Vovos · #1

Έστω $c\in (0,1)$ . Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , με f(0)=1

, για τις οποίες ισχύει:
$\displaystyle{f(x)f(cx)e^{y}-f(y)f(cy)e^{x}\leqslant e^{x+y}\left ( x-y \right )^{2n}}$ , για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ και για κάθε $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ . Φιλικά,
Μάριος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

M.S.Vovos έγραψε:Έστω $c\in (0,1)$ . Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , με , για τις οποίες ισχύει:
$\displaystyle{f(x)f(cx)e^{y}-f(y)f(cy)e^{x}\leqslant e^{x+y}\left ( x-y \right )^{2n}}$ , για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ και για κάθε $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ . Φιλικά,
Μάριος

Γεια σου Μάριε.
Που το βρήκες αυτό το έκτρωμα ;

Επί της ουσίας.
Δεν χρειάζεται για κάθε $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ .
Αρκεί να ισχύει για n=1

(η στην θέση του

να είναι $1+\epsilon ,\epsilon > 0$ )
Αν κάποιος μπορεί να λύσει για $c\in (0,1)$ μπορεί και για $c\in \mathbb{R}$

Αν θεωρήσουμε $g(x)=f(x)f(cx)e^{-x}$ (από άσκηση σχολικού 2.6 1 Β ΟΜΑΔΑΣ)
βγαίνει σταθερή.

Επειδή f(0)=1

έχουμε να λύσουμε το πρόβλημα.

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , με f(0)=1

, για τις οποίες ισχύει:

$f(x)f(cx)=e^{x}$

το οποίο είναι ενδιαφέρον.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , με , για τις οποίες ισχύει:

$f(x)f(cx)=e^{x}$

το οποίο είναι ενδιαφέρον.

Επαναφορά.
Το $c\in \mathbb{R}$

mikemoke · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , με , για τις οποίες ισχύει:

$f(x)f(cx)=e^{x}$

το οποίο είναι ενδιαφέρον.
Επαναφορά.
Το $c\in \mathbb{R}$

Γεια σας

(1) θέτω

------> $f(cx)f(c^2x)=e^{cx}$ (2)
(1)/(2)

----> $\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}$
Tώρα θεωρητικά μάλλον μπορούν να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις αφου γνωρίζουμε πως μεταβάλλεται στους χ΄χ, ψ΄ψ
Φυσικά δεν αποτελεί λύση απλά σκέψεις

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , με , για τις οποίες ισχύει:

$f(x)f(cx)=e^{x}$

το οποίο είναι ενδιαφέρον.
Επαναφορά.
Το $c\in \mathbb{R}$
Γεια σας
(1) θέτω ------> $f(cx)f(c^2x)=e^{cx}$ (2)
----> $\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}$
Tώρα θεωρητικά μάλλον μπορούν να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις αφου γνωρίζουμε πως μεταβάλλεται στους χ΄χ, ψ΄ψ
Φυσικά δεν αποτελεί λύση απλά σκέψεις

Να δώσω μια υπόδειξη αφού ασχολήθηκες με το θέμα.
1)Υπέθεσε ότι $\left | c \right |< 1,c\neq 0$
2)Την σχέση που έγραψες εφάρμοσε την

φορές και πάρε $n\rightarrow \infty$

Για c=0,1,-1

είναι τετριμμένο
Για $\left | c \right |> 1$ είναι ανάλογο με το $\left | c \right |< 1,c\neq 0$

mikemoke · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , με , για τις οποίες ισχύει:

$f(x)f(cx)=e^{x}$

το οποίο είναι ενδιαφέρον.
Επαναφορά.
Το $c\in \mathbb{R}$
Γεια σας
(1) θέτω ------> $f(cx)f(c^2x)=e^{cx}$ (2)
----> $\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}$
Tώρα θεωρητικά μάλλον μπορούν να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις αφου γνωρίζουμε πως μεταβάλλεται στους χ΄χ, ψ΄ψ
Φυσικά δεν αποτελεί λύση απλά σκέψεις
Να δώσω μια υπόδειξη αφού ασχολήθηκες με το θέμα.
1)Υπέθεσε ότι $\left | c \right |< 1,c\neq 0$
2)Την σχέση που έγραψες εφάρμοσε την φορές και πάρε $n\rightarrow \infty$

Για είναι τετριμμένο
Για $\left | c \right |> 1$ είναι ανάλογο με το $\left | c \right |< 1,c\neq 0$

Στο 2) μπορεί να δωθεί επεξήγηση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Βεβαίως.
Τώρα βλέπω ότι η τελική σου σχέση έχει τυπογραφικό.
$f(x)f(cx)=e^{x},f(cx)f(c^{2}x)=e^{cx},f(c^{2}x)f(c^{3}x)=e^{c^{2}x}.....f(c^{n}x)f(c^{n+1}x)=e^{c^{n}x}$
κάνοντας απαληφή βρίσκεις μια σχέση μεταξύ των
$f(x),f(c^{n+1}x)$ και του

με εκθέτη ενα άθροισμα.
Για διευκόλυνση πάρε

άρτιο.
Μετά παίρνεις $n\rightarrow \infty$ .
Το άθροισμα στον εκθέτη συγκλίνει.

mikemoke · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Βεβαίως.
Τώρα βλέπω ότι η τελική σου σχέση έχει τυπογραφικό.
$f(x)f(cx)=e^{x},f(cx)f(c^{2}x)=e^{cx},f(c^{2}x)f(c^{3}x)=e^{c^{2}x}.....f(c^{n}x)f(c^{n+1}x)=e^{c^{n}x}$
κάνοντας απαληφή βρίσκεις μια σχέση μεταξύ των
$f(x),f(c^{n+1}x)$ και του με εκθέτη ενα άθροισμα.
Για διευκόλυνση πάρε άρτιο.
Μετά παίρνεις $n\rightarrow \infty$ .
Το άθροισμα στον εκθέτη συγκλίνει.

Πολύ ωραία σκέψη.
Εστίασα στην γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος γι΄ αυτό έφτιαξα αναλογίες $\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}$
Αν μπορέσω να βρω και 2ο τρόπο θα τον αναρτήσω

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Βεβαίως.
Τώρα βλέπω ότι η τελική σου σχέση έχει τυπογραφικό.
$f(x)f(cx)=e^{x},f(cx)f(c^{2}x)=e^{cx},f(c^{2}x)f(c^{3}x)=e^{c^{2}x}.....f(c^{n}x)f(c^{n+1}x)=e^{c^{n}x}$
κάνοντας απαληφή βρίσκεις μια σχέση μεταξύ των
$f(x),f(c^{n+1}x)$ και του με εκθέτη ενα άθροισμα.
Για διευκόλυνση πάρε άρτιο.
Μετά παίρνεις $n\rightarrow \infty$ .
Το άθροισμα στον εκθέτη συγκλίνει.
Πολύ ωραία σκέψη.
Εστίασα στην γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος γι΄ αυτό έφτιαξα αναλογίες $\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}$
Αν μπορέσω να βρω και 2ο τρόπο θα τον αναρτήσω

Αυτό
$\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}$

είναι

$\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{x(c-1)}$

mikemoke · #10

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Βεβαίως.
Τώρα βλέπω ότι η τελική σου σχέση έχει τυπογραφικό.
$f(x)f(cx)=e^{x},f(cx)f(c^{2}x)=e^{cx},f(c^{2}x)f(c^{3}x)=e^{c^{2}x}.....f(c^{n}x)f(c^{n+1}x)=e^{c^{n}x}$
κάνοντας απαληφή βρίσκεις μια σχέση μεταξύ των
$f(x),f(c^{n+1}x)$ και του με εκθέτη ενα άθροισμα.
Για διευκόλυνση πάρε άρτιο.
Μετά παίρνεις $n\rightarrow \infty$ .
Το άθροισμα στον εκθέτη συγκλίνει.
Πολύ ωραία σκέψη.
Εστίασα στην γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος γι΄ αυτό έφτιαξα αναλογίες $\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}$
Αν μπορέσω να βρω και 2ο τρόπο θα τον αναρτήσω

Αυτό
$\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}$

είναι

$\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{x(c-1)}$

Σωστά

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Στο
viewtopic.php?f=61&t=4599
εχει συζητηθεί η περίπτωση $c\in (0,1)$

Εύρεση συναρτήσεων!

Εύρεση συναρτήσεων!

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

Μέλη σε σύνδεση