Παράξενη τριγωνομετρική σειρά

Tolaso J Kos · #1

Υπολογίσατε τη σειρά:
$\displaystyle{\mathcal{S}= \sum_{n=1}^{\infty}\left[\arctan\left(\frac{1}{4}-n\right)+\arctan\left(\frac{1}{4}+n\right)\right]}$

dement · #2

Έχουμε $\displaystyle \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} - n \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} + n \right) = \tan^{-1} \left( n + \frac{1}{4} \right) - \tan^{-1} \left( n - \frac{1}{4} \right) =$

$\displaystyle = \int_{n - 1/4}^{n + 1/4} \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x = \int_{- 1/4}^{1/4} \frac{1}{1 + (x+n)^2} \mathrm{d}x = \int_0^{1/4} \left[\frac{1}{1 + (x+n)^2} + \frac{1}{1 + (x-n)^2} \right] \mathrm{d}x$

Έτσι το άπειρο άθροισμα είναι $\displaystyle \int_0^{1/4} \left( \sum_{n=- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + (x+n)^2} \right) \mathrm{d}x \ - \ \int_0^{1/4} \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x =$

$\displaystyle = \int_0^{1/4} s(x) \mathrm{d}x \ - \ \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} \right)$ , όπου $\displaystyle s(x) \equiv \sum_{n=- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + (x+n)^2}$

Για την s(x)

θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle f(z) \equiv \frac{\pi \cot (\pi z)}{1 + (x+z)^2}$ που έχει απλούς πόλους σε κάθε $n \in \mathbb{Z}$ (υπόλοιπο $\displaystyle \frac{1}{1 + (x+n)^2}$ ) και στα $-x \pm i$ (υπόλοιπο $\displaystyle \frac{\pi \cot [ \pi (-x \pm i)]}{\pm 2i}$ )

και το ολοκλήρωμα $\displaystyle \oint_C f(z) \mathrm{d}z$ , όπου

τετράγωνο πλευράς 2n+1

με κέντρο το

και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες. Το ολοκλήρωμα τείνει στο

για $n \to \infty$ (επειδή η $\cot z$ είναι φραγμένη επί του συνόλου των

) και έτσι το άθροισμα των υπολοίπων είναι

.

Άρα $\displaystyle s(x) = \frac{i \pi}{2} \left( \cot [ \pi (-x + i)] - \cot [ \pi (-x-i)] \right) = \frac{\pi \sinh (2 \pi)}{\cosh(2 \pi) - \cos (2 \pi x)}$ και έτσι

$\displaystyle \int_0^{1/4} s(x) \mathrm{d}x = \frac{\sinh (2 \pi)}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cosh(2 \pi) - \cos (x)} \mathrm{d}x =$

$\displaystyle = \tanh{\pi} \int_0^1 \frac{1}{t^2 + \tanh^2 \pi} \mathrm{d}t = \tan^{-1} \left( \coth \pi \right)$ και τελικά

$\displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \left( \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} - n \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} + n \right) \right) = \tan^{-1} \left( \coth \pi \right) - \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} \right)$

Tolaso J Kos · #3

Εξαιρετικός. Εδώ μας δίδεται η ευκαιρία να δούμε τη δύναμη της μιγαδικής ανάλυσης. Είναι η μία από τις δύο λύσεις που χω. Η άλλη είναι με πραγματική όπου βρίσκουμε και πλήρη γενικό τύπο!!

Παράξενη τριγωνομετρική σειρά

Παράξενη τριγωνομετρική σειρά

Re: Παράξενη τριγωνομετρική σειρά

Re: Παράξενη τριγωνομετρική σειρά

Μέλη σε σύνδεση