Σειρά με Ci
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Σειρά με Ci
Ας δηλώσουμε με τη συνάρτηση Cosine integral function. Υπολογισθήτω :
όπου .
όπου .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Re: Σειρά με Ci
Για βρίσκωTolaso J Kos έγραψε:Υπολογισθήτω : όπου .
Αν το αποτέλεσμα τροποποιείται ελαφρά.
Επειδή οι υπολογισμοί είναι αρκετά πολύπλοκοι κι επειδή είναι αδύνατη η αριθμητική επαλήθευση μέσω λογισμικού, αναμένω επιβεβαίωση.
Σεραφείμ Τσιπέλης
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Re: Σειρά με Ci
Χωρίς να είναι εξαιρετικά δύσκολη, είναι τρομερά μπελαλίδικη ..
Λήμμα 1 : διότι
.
Όμως από εδώ http://functions.wolfram.com/ZetaFuncti ... owAll.html γνωρίζουμε ότι ,
οπότε παίρνοντας τον πρωτεύοντα κλάδο του λογαρίθμου έχουμε
Λήμμα 2: στοιχειώδες
Λήμμα 3: επίσης στοιχειώδες
Στο θέμα μας
Μένει να υπολογιστεί η σειρά που ομολογουμένως είναι εξοντωτική.
Από εδώ https://en.wikipedia.org/wiki/Glaisher% ... n_constant έχουμε ότι , όπου η σταθερά του Glaisher–Kinkelin,
άρα και
οπότε
Κλασσικά (Λύκειο) βρίσκουμε ότι και τελικά
Συμμαζεύοντας τα παραπάνω έχουμε
Επειδή πάλι από εδώ https://en.wikipedia.org/wiki/Glaisher% ... n_constant γνωρίζουμε ότι
επομένως με τελικό εναλλακτικό αποτέλεσμα
Υ.Γ Αν , προκύπτει μια μικρή διαφοροποίηση στο ολοκλήρωμα
διότι αλλάζει κατά μια μονάδα το ακέραιο μέρος.
Λήμμα 1 : διότι
.
Όμως από εδώ http://functions.wolfram.com/ZetaFuncti ... owAll.html γνωρίζουμε ότι ,
οπότε παίρνοντας τον πρωτεύοντα κλάδο του λογαρίθμου έχουμε
Λήμμα 2: στοιχειώδες
Λήμμα 3: επίσης στοιχειώδες
Στο θέμα μας
Μένει να υπολογιστεί η σειρά που ομολογουμένως είναι εξοντωτική.
Από εδώ https://en.wikipedia.org/wiki/Glaisher% ... n_constant έχουμε ότι , όπου η σταθερά του Glaisher–Kinkelin,
άρα και
οπότε
Κλασσικά (Λύκειο) βρίσκουμε ότι και τελικά
Συμμαζεύοντας τα παραπάνω έχουμε
Επειδή πάλι από εδώ https://en.wikipedia.org/wiki/Glaisher% ... n_constant γνωρίζουμε ότι
επομένως με τελικό εναλλακτικό αποτέλεσμα
Υ.Γ Αν , προκύπτει μια μικρή διαφοροποίηση στο ολοκλήρωμα
διότι αλλάζει κατά μια μονάδα το ακέραιο μέρος.
Σεραφείμ Τσιπέλης
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Σειρά με Ci
Γεια σου Σεραφείμ...
Μία εναλλακτική προσέγγιση όταν . Από εδώ ( εξίσωση ) γνωρίζουμε ότι για θετικά ισχύει
όπου η σταθερά των Euler - Mascheroni.
Τότε θέτοντας έχουμε ότι:
Επίσης είναι γνωστό από τις σειρές Fourier ( εδώ ) ότι
Αθροίζοντας την και χρησιμοποιώντας την ομοιόμορφη σύγκλιση της δεύτερης σειράς έχουμε:
To αποτέλεσμα μπορεί να επεκταθεί και άλλο αφού γνωρίζουμε τη τιμή η οποία περιέχει μέσα τη σταθερά Glashier - Kinkelin.
Διόρθωσα το τυπογραφικό στο πρόσημο. Σεραφείμ συμφωνήσαμε!
Μία εναλλακτική προσέγγιση όταν . Από εδώ ( εξίσωση ) γνωρίζουμε ότι για θετικά ισχύει
όπου η σταθερά των Euler - Mascheroni.
Τότε θέτοντας έχουμε ότι:
Επίσης είναι γνωστό από τις σειρές Fourier ( εδώ ) ότι
Αθροίζοντας την και χρησιμοποιώντας την ομοιόμορφη σύγκλιση της δεύτερης σειράς έχουμε:
To αποτέλεσμα μπορεί να επεκταθεί και άλλο αφού γνωρίζουμε τη τιμή η οποία περιέχει μέσα τη σταθερά Glashier - Kinkelin.
Διόρθωσα το τυπογραφικό στο πρόσημο. Σεραφείμ συμφωνήσαμε!
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες