Φανταστικό ... αποτέλεσμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Φανταστικό ... αποτέλεσμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Απρ 26, 2017 11:33 pm

Προέκυψε εντελώς τυχαία.

Δείξατε ότι
\displaystyle{\int_{-\infty}^{0} e^x \log^2 x \, {\rm d}x=\gamma^2 -2 i \gamma \pi -\frac{5\pi^2}{6}} όπου \gamma η σταθερά των Euler - Mascheroni.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Φανταστικό ... αποτέλεσμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Σάβ Μάιος 06, 2017 9:42 am

Tolaso J Kos έγραψε:Δείξατε ότι \displaystyle{\int_{-\infty}^{0} e^x \log^2 x \, {\rm d}x=\gamma^2 -2 i \gamma \pi -\frac{5\pi^2}{6}} όπου \gamma η σταθερά των Euler - Mascheroni.
Θεωρούμε γνωστούς τους μετασχηματισμούς Laplace http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/i ... place5.pdf :

\displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\log x \cdot {e^{ - s \cdot x}}dx}  =  - \frac{{\log s + \gamma }}{s}} και \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {{{\log }^2}x \cdot {e^{ - s \cdot x}}dx}  = \frac{1}{s}\left( {{{\left( {\log s + \gamma } \right)}^2} + \frac{{{\pi ^2}}}{6}} \right)}

Επομένως \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\log x \cdot {e^{ - x}}dx}  =  - \gamma } και \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {{{\log }^2}x \cdot {e^{ - x}}dx}  = {\gamma ^2} + \frac{{{\pi ^2}}}{6}}

Τότε

\displaystyle{\int\limits_{ - \infty }^0 {{e^x}{{\log }^2}\left( x \right)dx} \mathop { =  =  = }\limits^{x =  - y} \int\limits_0^\infty  {{e^{ - x}}{{\log }^2}\left( { - x} \right)dx}  = \int\limits_0^\infty  {{e^{ - x}}{{\log }^2}\left( {x \cdot {e^{i \cdot \pi }}} \right)dx}  = \int\limits_0^\infty  {{e^{ - x}}{{\left( {\log x + i \cdot \pi } \right)}^2}dx}  = }

\displaystyle{ = \int\limits_0^\infty  {{e^{ - x}}{{\log }^2}\left( x \right)dx}  - {\pi ^2}\int\limits_0^\infty  {{e^{ - x}}dx}  + 2 \cdot i \cdot \pi \int\limits_0^\infty  {{e^{ - x}}\log \left( x \right)dx}  = {\gamma ^2} - \frac{{5{\pi ^2}}}{6} - 2 \cdot i \cdot \pi  \cdot \gamma }


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης