Σύγκλιση σειράς

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σύγκλιση σειράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μάιος 10, 2017 8:41 pm

Έστω f:(0,\infty)\to \mathbb{R} μία θετική και παραγωγίσιμη συνάρτηση με θετική παράγωγο. Αποδείξατε ότι η σειρά \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{f(n)} συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{-1}(n)}{n^2} συγκλίνει.

Άνευ λύσης.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση σειράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 11, 2017 2:21 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω f:(0,\infty)\to \mathbb{R} μία θετική και παραγωγίσιμη συνάρτηση με θετική παράγωγο. Αποδείξατε ότι η σειρά \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{f(n)} συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{-1}(n)}{n^2} συγκλίνει.

Άνευ λύσης.
Αν \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=a\in \mathbb{R}
τότε η πρώτη σειρά αποκλίνει ενώ η δεύτερη δεν ορίζεται.

Αρα είναι \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty.

Είναι εύκολο να δούμε λόγω της μονοτονίας ότι η σύγκλιση των σειρών είναι η ίδια με την σύγκλιση
των γενικευμένων ολοκληρωμάτων

I=\int_{1}^{\infty }\dfrac{1}{f(x)}dx \wedge J= \int_{1}^{\infty }\dfrac{f^{-1}(x)}{x^{2}}dx

Κάνοντας αλλαγή μεταβλητής, χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παράγωγο αντίστροφης και
ολοκλήρωση κατά μέρη έχουμε

\int_{1}^{a}\dfrac{1}{f(x)}dx=\int_{f(1)}^{f(a)}\dfrac{(f^{-1}(t))'}{t}dt=\frac{a}{f(a)}-\frac{1}{f(1)}+\int_{f(1)}^{f(a)}\dfrac{f^{-1}(t)}{t^{2}}dt

Από την τελευταία είναι άμεσο ότι αν I< +\infty \Rightarrow J< +\infty

Αν J< +\infty τότε εύκολα βλέπουμε ότι πρέπει

liminf\frac{f^{-1}(t)}{t}=0
(αλλιώς δεν θα συνέκλινε)

Αρα υπάρχει x_{n}\rightarrow \infty με

\frac{x_{n}}{f(x_{n})}\leq 1

Βαζοντας στην θέση του aτο x_{n} παίρνουμε ότι I< +\infty .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης