Σύγκλιση σειράς

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:(0,\infty)\to \mathbb{R}$ μία θετική και παραγωγίσιμη συνάρτηση με θετική παράγωγο. Αποδείξατε ότι η σειρά $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{f(n)}$ συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ συγκλίνει.

Άνευ λύσης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω $f:(0,\infty)\to \mathbb{R}$ μία θετική και παραγωγίσιμη συνάρτηση με θετική παράγωγο. Αποδείξατε ότι η σειρά $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{f(n)}$ συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ συγκλίνει.

Άνευ λύσης.

Αν $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=a\in \mathbb{R}$
τότε η πρώτη σειρά αποκλίνει ενώ η δεύτερη δεν ορίζεται.

Αρα είναι $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$ .

Είναι εύκολο να δούμε λόγω της μονοτονίας ότι η σύγκλιση των σειρών είναι η ίδια με την σύγκλιση
των γενικευμένων ολοκληρωμάτων

$I=\int_{1}^{\infty }\dfrac{1}{f(x)}dx \wedge J= \int_{1}^{\infty }\dfrac{f^{-1}(x)}{x^{2}}dx$

Κάνοντας αλλαγή μεταβλητής, χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παράγωγο αντίστροφης και
ολοκλήρωση κατά μέρη έχουμε

$\int_{1}^{a}\dfrac{1}{f(x)}dx=\int_{f(1)}^{f(a)}\dfrac{(f^{-1}(t))'}{t}dt=\frac{a}{f(a)}-\frac{1}{f(1)}+\int_{f(1)}^{f(a)}\dfrac{f^{-1}(t)}{t^{2}}dt$

Από την τελευταία είναι άμεσο ότι αν $I< +\infty \Rightarrow J< +\infty$

Αν $J< +\infty$ τότε εύκολα βλέπουμε ότι πρέπει

$liminf\frac{f^{-1}(t)}{t}=0$
(αλλιώς δεν θα συνέκλινε)

Αρα υπάρχει $x_{n}\rightarrow \infty$ με

$\frac{x_{n}}{f(x_{n})}\leq 1$

Βαζοντας στην θέση του

το $x_{n}$ παίρνουμε ότι $I< +\infty$ .

Σύγκλιση σειράς

Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Μέλη σε σύνδεση