Άλγεβρα Banach χωρίς μονάδα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Άλγεβρα Banach χωρίς μονάδα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Παρ Μάιος 12, 2017 2:08 pm

Θεωρούμε τη μεταθετική μιγαδική άλγεβρα Banach \displaystyle{\left(c_0(\mathbb{N}),||\cdot||_{\infty}\right)} (με τις πράξεις κατά σημείο) χωρίς μονάδα.

Το \displaystyle{c_{00}(\mathbb{N})=\left\{x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\,,\exists\,k\in\mathbb{N}\,,x_n=0\,,\forall\,n\geq k\right\}} είναι

ιδεώδες αυτής της άλγεβρας. Να δείξετε ότι δεν περιέχεται σε κανένα μεγιστικό ιδέωδες αυτής.


Παπαπέτρος Ευάγγελος

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Άλγεβρα Banach χωρίς μονάδα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Μάιος 13, 2017 9:24 am

Έστω μεγιστικό ιδεώδες I με c_{00}(\mathbb{N}) \subset I και x \in c_0(\mathbb{N})-I. Έστω x = y^2.

Τότε, για κάθε s \in c_0(\mathbb{N}) υπάρχουν a \in I, r \in c_0(\mathbb{N}) με s = a + ry^2. Συγκεκριμένα, έστω y = A + Ry^2. Επιλέγουμε τα A, R έτσι ώστε να μην ισχύει ποτέ R_n y_n = 1 (μπορούμε, επειδή η ισότητα ισχύει για πεπερασμένου πλήθους n και το I περιέχει όλες τις τελικά-0 ακολουθίες).

Η \displaystyle \frac{y}{1-Ry} είναι προφανώς μηδενική και αφού y-Ry^2 \in I έχουμε \displaystyle \frac{y}{1-Ry} \times (y - Ry^2) = y^2 \in I, άτοπο. Έτσι, η c_{00}(\mathbb{N}) δεν περιέχεται σε μεγιστικό ιδεώδες.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης