Αναλλοίωτο μέτρο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Αναλλοίωτο μέτρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 01, 2017 5:47 pm

Γεια σας. Δυσκολεύομαι σε μια αντικατάσταση για τον υπολογισμό ολοκληρώματος.

Ας είναι \displaystyle{\maathcal{B}(\mathbb{R})} η Borel σ-άλγεβρα στο \displaystyle{\mathbb{R}} . Θεωρούμε το μέτρο \displaystyle{\mu}

με \displaystyle{\mathrm{d}\mu(x):=\dfrac{1}{\pi\,(1+x^2)}\,\mathrm{d}x και τον μετασχηματισμό

\displaystyle{T:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,\,,T(x)=\begin{cases} 
                                                                                    (x-x^{-1})/2\,\,\,\,\,,x\neq 0\\ 
                                                                                    \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x=0 
                                                                                      \end{cases}}

Παίρνω τυχούσα \displaystyle{f\in L^{\infty}(\mathbb{R},\mu)} και θέλω να δείξω ότι

\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}f\circ T \mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{R}}f \mathrm{d}\mu}

Θέλω να κάνω την αντικατάσταση \displaystyle{y=T(x)} αλλά δυσκολεύομαι στο πώς θα αλλάξει το μέτρο.

Κάποια υπόδειξη ;


Παπαπέτρος Ευάγγελος

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αναλλοίωτο μέτρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιουν 01, 2017 7:21 pm

BAGGP93 έγραψε:Γεια σας. Δυσκολεύομαι σε μια αντικατάσταση για τον υπολογισμό ολοκληρώματος.

Ας είναι \displaystyle{\maathcal{B}(\mathbb{R})} η Borel σ-άλγεβρα στο \displaystyle{\mathbb{R}} . Θεωρούμε το μέτρο \displaystyle{\mu}

με \displaystyle{\mathrm{d}\mu(x):=\dfrac{1}{\pi\,(1+x^2)}\,\mathrm{d}x και τον μετασχηματισμό

\displaystyle{T:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,\,,T(x)=\begin{cases} 
                                                                                    (x-x^{-1})/2\,\,\,\,\,,x\neq 0\\ 
                                                                                    \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x=0 
                                                                                      \end{cases}}

Παίρνω τυχούσα \displaystyle{f\in L^{\infty}(\mathbb{R},\mu)} και θέλω να δείξω ότι

\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}f\circ T \mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{R}}f \mathrm{d}\mu}

Θέλω να κάνω την αντικατάσταση \displaystyle{y=T(x)} αλλά δυσκολεύομαι στο πώς θα αλλάξει το μέτρο.

Κάποια υπόδειξη ;
1)Αυτό\displaystyle{f\in L^{\infty}(\mathbb{R},\mu)} μάλλον είναι

\displaystyle{f\in L^{1}(\mathbb{R},\mu)}

2)Το πρόβλημα δεν έχει σχέση με το μέτρο. Είναι μια αλλαγή μεταβλητής σε γενικευμένο.

Παρατήρησε ότι T(-\infty ,0)=\mathbb{R}\wedge T(0,\infty )=\mathbb{R}

Σπάσε το ολοκλήρωμα στα αρνητικά και θετικά και κάνε την αλλαγή μεταβλητής.

Πρόσθεσε τα δύο ολοκληρώματα .Κάνε τις πράξεις και λόγω θαύματος θα πάρεις το αποτέλεσμα που γράφεις.

Ισως να υπάρχει μια σταθερά.(Εκανα τις πράξεις γρήγορα mod σταθερές)


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Αναλλοίωτο μέτρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 01, 2017 7:36 pm

Ευχαριστώ για την απάντηση κύριε Στάυρο. Σας χρωστάω και κάτι άλλο, θα το γράψω όταν βρω χρόνο.

Νομίζω ότι δεν υπάρχει θέμα με το \displaystyle{f\in L^{\infty}} γιατί παρατηρούμε ότι το μέτρο είναι μέτρο πιθανότητας.

Εκεί υπάρχει το πρόβλημα, αφού κάνω την αλλαγή μεταβλητής, πώς θα γίνει το \displaystyle{\mathrm{d}y ;


Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Αναλλοίωτο μέτρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 01, 2017 9:51 pm

Νομίζω το έλυσα.

Έστω \displaystyle{f\in L^{\infty}(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mu)} . Είναι,

\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}f\circ T\mathrm{d}\mu=\int_{-\infty}^{0}f\circ T\mathrm{d}\mu+\int_{0}^{\infty}f\circ T\mathrm{d}\mu .

Ας δούμε πρώτα το \displaystyle{\int_{0}^{\infty}f\circ T\mathrm{d}\mu} . Είναι,

\displaystyle{\int_{0}^{\infty}f\circ \mathrm{d}\mu=\int_{0}^{\infty}\dfrac{f(T(x))}{\pi\,(1+x^2)}\,\mathrm{d}x .

Η \displaystyle{T} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\left(0,+\infty\right)} με \displaystyle{T((0,+\infty))=\mathbb{R}

Εδώ θέτουμε \displaystyle{y=T(x)=\dfrac{1}{2}\,\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\,,y\in\mathbb{R}} . Έχουμε τώρα

\displaystyle{\mathrm{d}y=\dfrac{1}{2}\,\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1+x^2}{2\,x^2}\,\mathrm{d}x

όπου

\displaystyle{y^2=\dfrac{1}{4}\,\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\right)=\dfrac{1}{4}\,x^2+\dfrac{1}{4\,x^2}-\dfrac{1}{2} , οπότε

\displaystyle{1+y^2=\dfrac{1}{4}\,x^2+\dfrac{1}{4\,x^2}+\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{x+x^{-1}}{2}\right)^2=\dfrac{(x^2+1)^2}{(2\,x)^2}

Έτσι,

\displaystyle{\dfrac{\mathrm{d}y}{2\,\pi\,(1+y^2)}=\dfrac{1}{2\,\pi}\,\dfrac{1+x^2}{2\,x^2}\,\mathrm{d}x\,\dfrac{4\,x^2}{(1+x^2)^2}=\dfrac{1}{\pi\,(1+x^2)}\,\mathrm{d}x

Άρα,

\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\dfrac{f(T(x))}{\pi\,(1+x^2)}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\,\int_{\mathbb{R}}\dfrac{f(y)}{\pi\,(1+y^2)}\,\mathrm{d}y=\dfrac{1}{2}\,\int_{\mathbb{R}} f\,\mathrm{d}\mu}

Όμοια για τα αρνητικά, και με πρόσθεση βγαίνει το ζητούμενο.

Ευχαριστώ κύριε Σταύρο.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης