Είναι συνεχής;

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2796
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Είναι συνεχής;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιουν 04, 2017 9:56 am

Να εξετασθεί αν η συνάρτηση f:[0,1]\longrightarrow[0,1], με f\big([0,1]\big)\subseteq[0,1] και τέτοια ώστε για κάθε x,y\in[0,1] να ισχύει
|f(x)-f(y)|\geqslant|x-y| είναι αναγκαστικά συνεχής.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν έχω πλήρη λύση: Εύκολα δείχνεται ότι η f είναι αναγκαστικά αύξουσα. Επομένως για κάθε x_0\in(0,1) υπάρχουν τα f(x_0-)=\mathop{\lim}\limits_{x\to x_0^{-}}f(x) και f(x_0+)=\mathop{\lim}\limits_{x\to x_0^{+}}f(x)....



edit: 10:33 Πρόσθεσα ότι έχω βρει.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2703
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι συνεχής;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιουν 04, 2017 10:57 am

grigkost έγραψε:Να εξετασθεί αν η συνάρτηση f:[0,1]\longrightarrow[0,1], με f\big([0,1]\big)\subseteq[0,1] και τέτοια ώστε για κάθε x,y\in[0,1] να ισχύει
|f(x)-f(y)|\geqslant|x-y| είναι αναγκαστικά συνεχής.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν έχω πλήρη λύση: Εύκολα δείχνεται ότι η f είναι αναγκαστικά αύξουσα. Επομένως για κάθε x_0\in(0,1) υπάρχουν τα f(x_0-)=\mathop{\lim}\limits_{x\to x_0^{-}}f(x) και f(x_0+)=\mathop{\lim}\limits_{x\to x_0^{+}}f(x)....



edit: 10:33 Πρόσθεσα ότι έχω βρει.
Υποθέτοντας ότι είναι γνησίως αύξουσα είναι f(x)=x

Είναι \left | f(1)-f(0) \right |\geq 1

οπότε f(1)=1,f(0)=0

Ετσι 1=f(1)-f(0)=f(1)-f(x)+f(x)-f(0)\geq 1-x+x-0=1

Αφού έχουμε παντού ισότητες προκύπτει.

Σημείωση .Βιάζομαι.Νομίζω ότι ο Γρηγόρης έχει δίκιο ότι είναι γνησίως αύξουσα.
Γρηγόρη βάλε και την απόδειξη ότι είναι γνησίως αύξουσα να κλείσει.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2796
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Είναι συνεχής;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιουν 04, 2017 11:53 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Νομίζω ότι ο Γρηγόρης έχει δίκιο ότι είναι γνησίως αύξουσα.
Γρηγόρη βάλε και την απόδειξη ότι είναι γνησίως αύξουσα να κλείσει.
Σταύρο,

τελικά δεν την "έχω" την μονοτονία(*). (η εξέταση της οποίας είναι και το δύσκολο μέρος της άσκησης) Αυτό που εύκολα αποδεικνύεται είναι το 1-1:
Πράγματι, για x_1,x_2\in[0,1] ισχύει

f(x_1)=f(x_2)\quad\Rightarrow\quad 0=|f(x_1)-f(x_2)|\geqslant|x_1-x_2|\quad\Rightarrow\quad x_1=x_2.

Άρα f είναι 1-1.

Επίσης, για κάθε x\in[0,1] ισχύει f(x)\geqslant x.

(*) Επομένως επιστρέφουμε στο αρχικό ερώτημα.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Είναι συνεχής;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιουν 04, 2017 12:34 pm

grigkost έγραψε:Να εξετασθεί αν η συνάρτηση f:[0,1]\longrightarrow[0,1], με f\big([0,1]\big)\subseteq[0,1] και τέτοια ώστε για κάθε x,y\in[0,1] να ισχύει
|f(x)-f(y)|\geqslant|x-y| είναι αναγκαστικά συνεχής.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν έχω πλήρη λύση: Εύκολα δείχνεται ότι η f είναι αναγκαστικά αύξουσα. Επομένως για κάθε x_0\in(0,1) υπάρχουν τα f(x_0-)=\mathop{\lim}\limits_{x\to x_0^{-}}f(x) και f(x_0+)=\mathop{\lim}\limits_{x\to x_0^{+}}f(x)....



edit: 10:33 Πρόσθεσα ότι έχω βρει.

Για x=0,y=1 έχουμε |f(1)-f(0)|\geqslant1 οπότε f(0)=0 και f(1)=1 ή ανάποδα.
Για y=0 είναι f(x)\geq x και για y=1 είναι f(x)\leq x οπότε f(x)=x για κάθε χ.

Στην άλλη περίπτωση έχουμε f(x)=1-x αν δουλέψουμε με την 1-f.


Θανάσης Κοντογεώργης
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Είναι συνεχής;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Ιουν 04, 2017 12:50 pm

Καλημέρα. Μια ιδέα.

Το \displaystyle{\left[0,1\right]} με την τοπολογία του, είναι συμπαγής μετρικός χώρος.

Όπως έδειξε ο Γρηγόρης, η \displaystyle{f} είναι 1-1 στο \displaystyle{\left[0,1\right]} , άρα ορίζεται η αντίστροφη

απεικόνιση \displaystyle{f^{-1}: f([0,1])\to \left[0,1\right]} η οποία είναι 1-1 στο \displaystyle{f([0,1])} και επί του \displaystyle{[0,1]} .

Αν \displaystyle{t\,,s\in f([0,1])} , τότε υπάρχουν μοναδικά \displaystyle{x\,,y\in\left[0,1\right]} ώστε \displaystyle{t=f(x)\,,s=f(y)}

οπότε, \displaystyle{|f(x)-f(y)|\geq |t-s|\iff |t-s|\geq |f^{-1}(t)-f^{-1}(s)| .

Συνεπώς, \displaystyle{|f^{-1}(t)-f^{-1}(s)|\leq |t-s|\,,\forall\,t\,,s\in f([0,1])} , γεγονός που αποδεικνύει ότι η \displaystyle{f^{-1}}

είναι συνεχής. Τώρα,

\displaystyle{(f^{-1})^{-1}(([0,1])=f([0,1])} , που σημαίνει ότι το \displaystyle{f([0,1])} είναι κλειστό. Ως κλειστό υποσύνολο

του συμπαγούς \displaystyle{\left[0,1\right]} , είναι και το \displaystyle{f([0,1])} συμπαγές.

Το ζητούμενο λοιπόν έπεται από το ακόλουθο λήμμα.

Αν \displaystyle{\left(X,d\right)\,,(Y,\rho)} είναι μετρικοί χώροι με τον \displaystyle{(X,d)} συμπαγή και \displaystyle{\phi:X\to Y}

μια συνεχής, 1-1 και επί απεικόνιση, τότε και η \displaystyle{\phi^{-1}} είναι συνεχής.
τελευταία επεξεργασία από BAGGP93 σε Κυρ Ιουν 04, 2017 1:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2703
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι συνεχής;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιουν 04, 2017 12:59 pm

Για τιμωρία γράφω καθαρά και αναλυτικά την λύση.


Είναι \left | f(1)-f(0) \right |\geq 1

οπότε f(1)=1,f(0)=0 η f(1)=0,f(0)=1

Υποθέτουμε ότι f(1)=1,f(0)=0

Ευκολα προκύπτει ότι είναι 1-1.

Αρα 0< x< 1\Rightarrow 0< f(x)< 1

Ετσι για 0< x< 1 είναι 1=f(1)-f(0)=f(1)-f(x)+f(x)-f(0)\geq 1-x+x-0=1

Αφού έχουμε παντού ισότητες προκύπτει ότι f(x)=x

Αν είναι f(1)=0,f(0)=1 όπως γράφει και ο Θανάσης παίρνουμε την g(x)=1-f(x)

H g ικανοποιεί τις προυποθέσεις του προβλήματος και g(0)=0,g(1)=1

Αρα g(x)=x

Τελικά οι συναρτήσεις που ικανοποιούν το πρόβλημα είναι οι x,1-x


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2703
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι συνεχής;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιουν 04, 2017 1:26 pm

BAGGP93 έγραψε:Καλημέρα. Μια ιδέα.

Το \displaystyle{\left[0,1\right]} με την τοπολογία του, είναι συμπαγής μετρικός χώρος.

Όπως έδειξε ο Γρηγόρης, η \displaystyle{f} είναι 1-1 στο \displaystyle{\left[0,1\right]} , άρα ορίζεται η αντίστροφη

απεικόνιση \displaystyle{f^{-1}: f([0,1])\to \left[0,1\right]} η οποία είναι 1-1 στο \displaystyle{f([0,1])} και επί του \displaystyle{[0,1]} .

Αν \displaystyle{t\,,s\in f([0,1])} , τότε υπάρχουν μοναδικά \displaystyle{x\,,y\in\left[0,1\right]} ώστε \displaystyle{t=f(x)\,,s=f(y)}

οπότε, \displaystyle{|f(x)-f(y)|\geq |t-s|\iff |t-s|\geq |f^{-1}(t)-f^{-1}(s)| .

Συνεπώς, \displaystyle{|f^{-1}(t)-f^{-1}(s)|\leq |t-s|\,,\forall\,t\,,s\in f([0,1])} , γεγονός που αποδεικνύει ότι η \displaystyle{f^{-1}}

είναι συνεχής. Τώρα,

\displaystyle{(f^{-1})^{-1}(([0,1])=f([0,1])} , που σημαίνει ότι το \displaystyle{f([0,1])} είναι κλειστό. Ως κλειστό υποσύνολο

του συμπαγούς \displaystyle{\left[0,1\right]} , είναι και το \displaystyle{f([0,1])} συμπαγές.

Το ζητούμενο λοιπόν έπεται από το ακόλουθο λήμμα.

Αν \displaystyle{\left(X,d\right)\,,(Y,\rho)} είναι μετρικοί χώροι με τον \displaystyle{(X,d)} συμπαγή και \displaystyle{\phi:X\to Y}

μια συνεχής, 1-1 και επί απεικόνιση, τότε και η \displaystyle{\phi^{-1}} είναι συνεχής.
Οχι Ευάγγελε.Δεν χρησιμοποίησες πουθενά ότι f(0)=0,f(1)=1 η ανάποδα που είναι κομβική.

Για να γίνει κατανοητό η απόδειξη σου θα πέρναγε αν είχαμε

f:[0,1]\rightarrow [0,5]

Αλλά αν πάρουμε την f(x)=x για 0\leq x< \frac{1}{2}

f(\frac{1}{2})=1

και τέλος f(x)=2+x για \frac{1}{2}< x\leq 1

τότε \left | f(x)-f(y) \right |\geq \left | x-y \right |

και η απόδειξη σου δεν δουλεύει.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2796
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Είναι συνεχής;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιουν 04, 2017 3:37 pm

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας. Η άσκηση προέκυψε σαν προσωπική απορία, αλλά για την αντιμετώπισή της "πήρα λάθος δρόμο". Όμως η συζήτηση υπήρξε εποικοδομητική. Έτσι -γενικεύοντας- δείχτηκαν:

Έστωσαν πραγματικός M>0 και συνάρτηση f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}, τέτοια ώστε για κάθε x,y\in[0,1] να ισχύει
|f(x)-f(y)|\geqslant M|x-y|\,.
  1. Αν f\big([0,1]\big)\subseteqq[0,M], τότε η f είναι συνεχής και μάλιστα ισχύει: είτε f(x)=Mx\,,\; x\in[0,1], είτε f(x)=M(1-x)\,,\; x\in[0,1].
  2. Αν f\big([0,1]\big)=[0,K]\,,\, K>M, τότε η f δεν είναι -αναγκαστικά- συνεχής.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11566
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Είναι συνεχής;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 04, 2017 5:20 pm

grigkost έγραψε: |f(x)-f(y)|\geqslant|x-y|
Βλέπε εδώ από το τέταρτο ποστ και κάτω, όπου σε συμπαγείς μετρικούς χώρους η συνθήκη "\ge" της αρχικής ερώτησης στο τέλος γίνεται ισότητα: Όπως ακριβώς στις παραπάνω λύσεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης