Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2780
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Ιουν 07, 2017 1:14 pm

Για 0<\alpha<\beta, να υπολογισθεί το \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\log{x}}{(x+\alpha)(x+\beta)}\,dx\,.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιουν 07, 2017 5:22 pm

grigkost έγραψε:Για 0<\alpha<\beta, να υπολογισθεί το \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\log{x}}{(x+\alpha)(x+\beta)}\,dx\,.
\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{\left ( x+\alpha \right )\left ( x+\beta \right )} \, {\rm d}x = \frac{1}{2 (\beta - \alpha) } \left [ \log^2 \beta - \log^2 \alpha \right ]} Άκυρα τα παραπάνω. Ισχύουν μόνο αν οι πόλοι είναι μέσα. Το αποτέλεσμα είναι σωστό αλλά πρέπει να φτιάξω τη λύση. Το βράδυ τώρα.

Συγνώμη. Θα επανέλθω.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2780
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Ιουν 07, 2017 5:43 pm

Μια λύση:

Για τον υπολογισμό του \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\log{x}}{(x+\alpha)(x+\beta)}\,dx\,,\quad 0<\alpha<\beta, θεωρούμε την συνάρτηση f(z)=\dfrac{{\rm{Log}}^2{z}}{(z-\alpha)(z-\beta)}\,,\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{x+0i\;|\;x\leqslant0\}, η οποία είναι μερόμορφη στο {\mathbb{C}}\setminus\{x+0i\;|\;x\leqslant0\} με απλούς πόλους τους z=\alpha, z=\beta. Θεωρούμε, επίσης, την απλή, κλειστή καμπύλη \gamma, η οποία είναι το άθροισμα του θετικά προσανατολισμένου τόξου C_r:=\big\{r\,{\rm{e}}^{it}\in{\mathbb{C}}\;\big|\; t\in(-\pi+\varepsilon,\pi-\varepsilon]\big\}\,, \; r\to+\infty\,,\;\varepsilon\to0^+\,, του ευθυγράμμου τμήματος \ell:=\big\{(r+\delta-t)\,{\rm{e}}^{i\pi}\in{\mathbb{C}}\;\big|\; t\in(\delta,r)\big\}, του αρνητικά προσανατολισμένου τόξου C_\delta:=\big\{\delta\,{\rm{e}}^{-it}\in{\mathbb{C}}\;\big|\; t\in(-\pi+\varepsilon,\pi-\varepsilon]\big\}\,, \;\delta\to0^{+}\,,\;\varepsilon\to0^+\,, και του ευθυγράμμου τμήματος -\ell:=\big\{t\,{\rm{e}}^{-i\pi}\in{\mathbb{C}}\;\big|\; t\in(\delta,r)\big\}.
[attachment=0]contour.png[/attachment] Επομένως \begin{aligned} 
{\rm{Res}\,}\big(f(z), z=\alpha\big)&=\frac{1}{0!}\,\mathop{\lim}\limits_{z\to\alpha}\bigg(( z-\alpha)\,\dfrac{{\rm{Log}\,}^2{z}}{(z-\alpha)(z-\beta)}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\mathop{\lim}\limits_{z\to\alpha}\dfrac{{\rm{Log}\,}^2{z}}{z-\beta}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&= \dfrac{\log^2{\alpha}}{\alpha-\beta}\,,\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
{\rm{Res}\,}\big(f(z), z=\beta\big)&=\frac{1}{0!}\,\mathop{\lim}\limits_{z\to\beta}\bigg(( z-\beta)\,\dfrac{{\rm{Log}\,}^2{z}}{(z-\alpha)(z-\beta)}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\mathop{\lim}\limits_{z\to\beta}\dfrac{{\rm{Log}\,}^2{z}}{z-\alpha}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\dfrac{\log^2{\beta}}{\beta-\alpha} 
\end{aligned} και \begin{aligned} 
\displaystyle\oint_{\gamma}{f(z)\,dz}&=2\pi i\;\cancelto{1}{{\rm{I}\,}\big(\gamma, z=\alpha\big)}\,{\rm{Res}\,}\big(f(z), z=\alpha\big)+2\pi i\;\cancelto{1}{{\rm{I}\,}\big(\gamma, z=\beta\big)}\,{\rm{Res}\,}\big(f(z), z=\beta\big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=2\pi i\,\dfrac{\log^2{\alpha}}{\alpha-\beta}+2\pi i\,\dfrac{\log^2{\beta}}{\beta-\alpha}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=2\pi i\,\dfrac{\log^2\beta-\log^2\alpha}{\beta-\alpha}&\Longrightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
\oint_{C_{r}}{f(z)\,dz}&+\oint_{\ell}{f(z)\,dz}+\oint_{C_{\delta}}{f(z)\,dz}+\oint_{-\ell}{f(z)\,dz}=2\pi i\,\dfrac{\log^2\beta-\log^2\alpha}{\beta-\alpha}\qquad(1)\,. 
\end{aligned} Επίσης \begin{aligned} 
\displaystyle\oint_{\ell}{f(z)\,dz}&=\int_{\delta}^{r}{\dfrac{{\rm{Log}\,}^2\big((r+\delta-t)\,{\rm{e}}^{i\pi}\big)\,\big((r+\delta-t)\,{\rm{e}}^{i\pi}\big)'}{\big((r+\delta-t)\,{\rm{e}}^{i\pi}-\alpha\big)\big((r+\delta-t)\,{\rm{e}}^{i\pi}-\beta\big)}\,dt}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\int_{\delta}^{r}{\dfrac{\big(\log|-r-\delta+t|+i\,\pi\big)^2}{(-r-\delta+t-\alpha)(-r-\delta+t-\beta)}\,dt}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&\mathop{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\limits^{\begin{subarray}{c} 
	{s\,=\,r+\delta-t}\\\noalign{\vspace{0.05cm}} 
	{ds\,=\,-dt}\\\noalign{\vspace{0.05cm}} 
	\end{subarray}}\,\int_{\delta}^{r}{\dfrac{\big(\log{s}+i\,\pi\big)^2}{(-s-\alpha)(-s-\beta)}\,ds}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\int_{\delta}^{r}{\dfrac{\big(\log{t}+i\,\pi\big)^2}{(t+\alpha)(t+\beta)}\,dt}\,,\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
\displaystyle\oint_{-\ell}{f(z)\,dz}&=\int_{\delta}^{r}{\dfrac{{\rm{Log}\,}^2\big(t\,{\rm{e}}^{-i\pi}\big)\,\big(t\,{\rm{e}}^{-i\pi}\big)'}{\big(t\,{\rm{e}}^{-i\pi}-\alpha\big)\big(t\,{\rm{e}}^{-i\pi}-\beta\big)}\,dt}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=-\int_{\delta}^{r}{\dfrac{\big(\log|{-t}|-i\,\pi\big)^2}{(-t-\alpha)(-t-\beta)}\,dt}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=-\int_{\delta}^{r}{\dfrac{\big(\log{t}-i\,\pi\big)^2}{(t+\alpha)(t+\beta)}\,dt}\hspace{3.0cm}\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
\int_{\ell}{f(z)\,dz}+\int_{-\ell}{f(z)\,dz}&=\int_{\delta}^{r}{\dfrac{\big(\log{t}+i\,\pi\big)^2}{(t+\alpha)(t+\beta)}\,dt}-\int_{\delta}^{r}{\dfrac{\big(\log{t}-i\,\pi\big)^2}{(t+\alpha)(t+\beta)}\,dt}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\int_{\delta}^{r}{\dfrac{4\pi\,i\,\log{t}}{(t+\alpha)(t+\beta)}\,dt}\,. 
\end{aligned} Με την βοήθεια του θεωρήματος εκτίμησης αποδεικνύεται ότι \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{r\to+\infty}\oint_{C_{r}}{f(z)\,dz}=\mathop{\lim}\limits_{\delta\to0^{+}}\oint_{C_{\delta}}{f(z)\,dz}=0\,. Επομένως από την (1) και τα παραπάνω προκύπτει \begin{aligned} 
\mathop{\lim}\limits_{\begin{subarray}{c} 
	{r\to+\infty}\\\noalign{\vspace{0.05cm}} 
	{\delta\to0^+} 
	\end{subarray}}\int_{\delta}^{r}{\dfrac{4\pi\,i\,\log{t}}{(t+\alpha)(t+\beta)}\,dt}+\cancelto{0}{\mathop{\lim}\limits_{\begin{subarray}{c} 
		{r\to+\infty}\\\noalign{\vspace{0.05cm}} 
		{\delta\to0^+} 
		\end{subarray}}\int_{C_{r}}{f(z)\,dz}}+\cancelto{0}{\mathop{\lim}\limits_{\begin{subarray}{c} 
		{r\to+\infty}\\\noalign{\vspace{0.05cm}} 
		{\delta\to0^+} 
		\end{subarray}}\int_{C_{\delta}}{f(z)\,dz}}&=2\pi i\,\dfrac{\log^2\beta-\log^2\alpha}{\beta-\alpha} &\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
\mathop{\lim}\limits_{\begin{subarray}{c} 
	{r\to+\infty}\\\noalign{\vspace{0.05cm}} 
	{\delta\to0^+} 
	\end{subarray}}\int_{\delta}^{r}{\dfrac{\log{t}}{(t+\alpha)(t+\beta)}\,dt}&=\dfrac{\log^2\beta-\log^2\alpha}{2\,(\beta-\alpha)} &\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
\int_{0}^{+\infty}{\dfrac{\log{t}}{(t+\alpha)(t+\beta)}\,dt}&=\dfrac{\log^2\beta-\log^2\alpha}{2\,(\beta-\alpha)}\,. 
\end{aligned}
Συνημμένα
contour.png
contour.png (8.81 KiB) Προβλήθηκε 889 φορές


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιουν 07, 2017 6:07 pm

grigkost έγραψε:Για τον υπολογισμό του \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\log{x}}{(x+\alpha)(x+\beta)}\,dx\,,\quad 0<\alpha<\beta, θεωρούμε την συνάρτηση f(z)=\dfrac{{\rm{Log}}^2{z}}{(z-\alpha)(z-\beta)}\,,\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{x+0i\;|\;x\leqslant0\}
Είχα στο νού μου αυτή τη συνάρτηση και κατά λάθος στο προηγούμενο μήνυμα έγραψα άλλη συνάρτηση και αναγκάστηκα να το σβήσω. Έτσι λοιπόν ο τύπος που είχα δώσει τότε λέει:
\displaystyle{\int_0^{\infty} \frac{\log x}{(x+\alpha) (x + \beta)}\; {\rm d}x = -\frac{1}{2} \sum_{k} {\rm Res}_{z = z_k} \frac{\log^2 z}{(z-\alpha)(z - \beta)} + i \pi \sum_{k} {\rm Res}_{z =z_k} \frac{\log z}{(z-\alpha)(z- \beta)}} όπου δίδει το σωστό αποτέλεσμα.

Γενικότερα ο παραπάνω τύπος που προκύπτει από εφαρμογή του keyhole contour σκοτώνει εύκολα ολοκληρώματα της μορφής "λογάριθμος επί πολυώνυμο". Πάντως θα ήθελα να δω κάτι με πραγματική ανάλυση.

Πάντως δε φαίνεται να είναι γνωστό σαν αποτέλεσμα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2780
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Ιουν 08, 2017 9:15 am

Και εγώ θα ήθελα να δω, αν είναι εφικτό, έναν υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος με μεθόδους πραγματικής ανάλυσης...


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 08, 2017 2:19 pm

Γεια σου Γρηγόρη, γεια σου Τόλη, γεια σου :logo:

Μετά από δοκιμές και αντικαταστάσεις, υπολόγισα το ολοκλήρωμα με πραγματικές μεθόδους.

Έστω \displaystyle{F(a,b)=\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln\,x}{(x+a)\,(x+b)}\,\mathrm{d}x\,\,,0<a<b} .

Θέτουμε \displaystyle{x=\dfrac{1}{t}} , οπότε έχουμε

\displaystyle{F(a,b)=-\int_{\infty}^{0}\dfrac{\ln(1/t)\,t^2}{(1+a\,t)\,(1+b\,t)}\,\dfrac{1}{t^2}\,\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}\dfrac{-\ln\,x}{(a\,x+1)\,(b\,x+1)}\,\mathrm{d}x\,\,(I)}

Απ' την άλλη,

\displaystyle{\begin{aligned}F(a,b)&=\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln\,(a\,b)+\ln\,(x/(a\,b))}{a\,b\,\left(x/a+1\right)\,\left(x/b+1\right)}\,\mathrm{d}x\\&\stackrel{y=x/a\,b}{=}\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln\,(a\,b)+\ln\,x}{(a\,x+1)\,(b\,x+1)}\,\mathrm{d}x\,\,(II) \end{aligned}}

Από τις σχέσεις \displaystyle{(I)\,,(II)} παίρνουμε,


\displaystyle{\begin{aligned}2\,F(a,b)&=\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln\,(a\,b)}{(a\,x+1)\,(b\,x+1)}\,\mathrm{d}x\\&=\ln\,(a\,b)\,\int_{0}^{\infty}\left(\dfrac{b}{b-a}\,\dfrac{1}{b\,x+1}-\dfrac{a}{b-a}\,\dfrac{1}{a\,x+1}\right)\,\mathrm{d}x\\&=\left[\dfrac{\ln\,(a\,b)}{b-a}\,\ln\,\left(\dfrac{b\,x+1}{a\,x+1}\right)\right]_{0}^{\infty}\\&=\dfrac{1}{b-a}\,\ln\,(a\,b)\,\ln\,(b/a) \end{aligned}}

Ώστε, \displaystyle{F(a,b)=\dfrac{1}{2\,(b-a)}\,\left(\ln^2\,b-\ln^2\,a\right)
τελευταία επεξεργασία από BAGGP93 σε Σάβ Ιουν 10, 2017 11:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιουν 08, 2017 2:43 pm

BAGGP93 έγραψε: Ώστε, \displaystyle{F(a,b)=\dfrac{1}{2\,(b-a)}\,\left(\ln^2\,b-\ln^2\,a\right)
:clap2: :clap2:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιούλ 30, 2017 12:22 pm

Πώς περνάν τα χρόνια !!

Σεραφείμ , όπως πάντα, με Laplace !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Κυρ Ιούλ 30, 2017 8:19 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Πώς περνάν τα χρόνια !!

Σεραφείμ , όπως πάντα, με Laplace !!
Πωπω .. πριν 6 χρόνια .. πράγματι περνάνε. Ο Laplace βέβαια καλά κρατεί .. :) :)



Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2780
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιούλ 30, 2017 8:40 pm

Σεραφείμ έγραψε:...Ο Laplace βέβαια καλά κρατεί .. :) :)
κι εμείς εδώ στο mathematica.gr κάτι κάνουμε Σεραφείμ... :)

Παρεμπιπτόντως, μήπως μπορούμε να βρούμε κάτι και για αυτήν την γενίκευση;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες