Τριγωνομετρικό με λογάριθμο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Τριγωνομετρικό με λογάριθμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιουν 10, 2017 12:10 am

Έστω \gamma η σταθερά των Euler - Mascheroni και n \in \mathbb{N}. Δειχθήτω:
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}{\cos(x^n)-\cos(x^{2n})\over x}{\ln{x}} \, {\rm d}x ={12\gamma^2-\pi^2\over 2(4n)^2}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Τριγωνομετρικό με λογάριθμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Ιούλ 04, 2017 9:06 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Δειχθήτω: \displaystyle{\int_{0}^{\infty}{\cos(x^n)-\cos(x^{2n})\over x}{\ln{x}} \, {\rm d}x ={12\gamma^2-\pi^2\over 2(4n)^2}}
Σχόλιο 1: Μετασχηματισμοί Laplace \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {{y^a} \cdot {e^{ - x \cdot y}}dy}  = \frac{{\Gamma \left( {1 + a} \right)}}{{{x^{1 + a}}}}} και \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\cos y \cdot {e^{ - x \cdot y}}dy}  = \frac{x}{{1 + {x^2}}}} (θεωρούνται γνωστοί).

Σχόλιο 2: Από εδώ http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html (σχέσεις 39 και 35) γνωρίζουμε \displaystyle{\Gamma \left( {1 + a} \right) = a \cdot \Gamma \left( a \right)} καθώς και

\displaystyle{\frac{1}{{\Gamma \left( {1 + 2 \cdot m \cdot z} \right)}} = 1 + 2m\gamma  \cdot z + \frac{{{m^2}}}{3}\left( {6{\gamma ^2} - {\pi ^2}} \right){z^2} + \frac{{2{m^3}}}{3}\left( {2{\gamma ^3} - \gamma {\pi ^2} + 4\zeta \left( 3 \right)} \right){z^3} + ..}

Σχόλιο 3: Επειδή \displaystyle{\Gamma \left( z \right) \cdot \Gamma \left( {1 - z} \right) = \frac{\pi }{{\sin \pi z}}} (σχέση 42 παραπάνω) προκύπτει (με ανάλυση Taylor) ότι

\displaystyle{\Gamma \left( {1 + m \cdot z} \right)\Gamma \left( {1 - m \cdot z} \right) = 1 + \frac{{{m^2}{\pi ^2}}}{6}{z^2} + \frac{{7{m^4}{\pi ^4}}}{{360}}{z^4} + ..} και με γινόμενο σειρών ότι

\displaystyle{\frac{{\Gamma \left( {1 + m \cdot z} \right)\Gamma \left( {1 - m \cdot z} \right)}}{{\Gamma \left( {1 + 2 \cdot m \cdot z} \right)}} = 1 + 2m\gamma  \cdot z + {m^2}\left( {2{\gamma ^2} - \frac{{{\pi ^2}}}{6}} \right){z^2} + {m^3}\left( {\frac{{4{\gamma ^3}}}{3} - \frac{{\gamma {\pi ^2}}}{3} + \frac{8}{3}\zeta \left( 3 \right)} \right){z^3} + ..}

Στο θέμα μας. \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\frac{{\cos {x^n} - \cos {x^{2n}}}}{x}\log x\;dx} \mathop { =  =  = }\limits^{{x^n} \to x} \frac{1}{{{n^2}}}\int\limits_0^\infty  {\frac{{\cos x - \cos {x^2}}}{x}\log x\;dx} }

Όμως \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\frac{{1 - \cos x}}{{{x^{a + 1}}}}\;dx}  = \frac{1}{{\Gamma (a + 1)}}\int\limits_0^\infty  {\left( {1 - \cos x} \right)\frac{{\Gamma (a + 1)}}{{{x^{a + 1}}}}\;dx}  = \frac{1}{{\Gamma (a + 1)}}\int\limits_0^\infty  {\left( {1 - \cos x} \right)\left( {\int\limits_0^\infty  {{y^a}{e^{ - xy}}dy} } \right)\;dx}  = }

\displaystyle{ = \frac{1}{{\Gamma (a + 1)}}\int\limits_0^\infty  {{y^a}\left( {\int\limits_0^\infty  {\left( {1 - \cos x} \right){e^{ - xy}}dx} } \right)\;dy}  = \frac{1}{{\Gamma (a + 1)}}\int\limits_0^\infty  {{y^a}\left( {\frac{1}{y} - \frac{y}{{1 + {y^2}}}} \right)\;dy} } \displaystyle{ = \frac{1}{{\Gamma (a + 1)}}\int\limits_0^\infty  {\frac{{{y^{a - 1}}}}{{1 + {y^2}}}\;dy} \mathop { =  =  = }\limits^{{y^2} = x} }

\displaystyle{ = \frac{1}{{2\Gamma (a + 1)}}\int\limits_0^\infty  {\frac{{{x^{\frac{a}{2} - 1}}}}{{1 + x}}\;dx}  = \frac{1}{{2\Gamma (a + 1)}}\int\limits_0^\infty  {{x^{\frac{a}{2} - 1}}\int\limits_0^\infty  {{e^{ - xw}}{e^{ - w}}dw} \;dx}  = } \displaystyle{\frac{1}{{2\Gamma (a + 1)}}\int\limits_0^\infty  {{e^{ - w}}\int\limits_0^\infty  {{x^{\frac{a}{2} - 1}}{e^{ - xw}}dx} \;dw}  = }

\displaystyle{ = \frac{{\Gamma \left( {\frac{a}{2}} \right)}}{{2\Gamma (a + 1)}}\int\limits_0^\infty  {{e^{ - w}}\frac{1}{{{w^{\frac{a}{2}}}}}\;dw = } \frac{{\Gamma \left( {\frac{a}{2}} \right)\Gamma \left( {1 - \frac{a}{2}} \right)}}{{2\Gamma (a + 1)}} \Rightarrow \int\limits_0^\infty  {\frac{{1 - \cos x}}{{{x^{2a + 1}}}}\;dx}  = \frac{{\Gamma \left( a \right)\Gamma \left( {1 - a} \right)}}{{2\Gamma \left( {2a + 1} \right)}} = \frac{{\Gamma \left( {1 + a} \right)\Gamma \left( {1 - a} \right)}}{{2a \cdot \Gamma \left( {2a + 1} \right)}}}

Δηλαδή \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\frac{{1 - \cos x}}{{{x^{2a + 1}}}}\;dx}  = \frac{1}{{2a}} + \gamma  + \left( {{\gamma ^2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}}} \right)a + \left( {\frac{{2{\gamma ^3}}}{3} - \frac{{\gamma {\pi ^2}}}{6} + \frac{4}{3}\zeta \left( 3 \right)} \right){a^2} + ..}

Παραγωγίζοντας ως προς \displaystyle{a} προκύπτει \displaystyle{{\int\limits_0^\infty  {\frac{{1 - \cos x}}{{{x^{2a + 1}}}}\log x\;dx}  = \frac{1}{{4{a^2}}} - \frac{1}{2}\left( {{\gamma ^2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}}} \right) - \left( {\frac{{2{\gamma ^3}}}{3} - \frac{{\gamma {\pi ^2}}}{6} + \frac{4}{3}\zeta \left( 3 \right)} \right)a + ..}}

Επίσης \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\frac{{1 - \cos {x^2}}}{{{x^{2a + 1}}}}\log x\;dx} \mathop { =  =  = }\limits^{{x^2} = y} \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty  {\frac{{1 - \cos y}}{{{y^{a + 1}}}}\log y\;dx}  = \frac{1}{{4{a^2}}} - \frac{1}{8}\left( {{\gamma ^2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}}} \right)} \displaystyle{ - \left( {\frac{{2{\gamma ^3}}}{3} - \frac{{\gamma {\pi ^2}}}{6} + \frac{4}{3}\zeta \left( 3 \right)} \right)\frac{a}{8} + ..}

Αφαιρώντας \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\frac{{\cos x - \cos {x^2}}}{{{x^{2a + 1}}}}\log x\;dx}  = \frac{3}{8}\left( {{\gamma ^2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}}} \right) + \frac{7}{8}\left( {\frac{{2{\gamma ^3}}}{3} - \frac{{\gamma {\pi ^2}}}{6} + \frac{4}{3}\zeta \left( 3 \right)} \right)a + ..}

Παίρνοντας όριο \displaystyle{a \to 0} προκύπτει \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\frac{{\cos x - \cos {x^2}}}{x}\log x\;dx}  = \frac{{12{\gamma ^2} - {\pi ^2}}}{{32}}} και τελικά \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\frac{{\cos {x^n} - \cos {x^{2n}}}}{x}\log x\;dx}  = \frac{{12{\gamma ^2} - {\pi ^2}}}{{32 \cdot {n^2}}}} :) :)



Ενδιαφέρον παρουσιάζει το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \dfrac{{\int\limits_0^\infty  {\dfrac{{\cos x - \cos {x^2}}}{{{x^{2a + 1}}}}\log x\;dx}  - \dfrac{{12{\gamma ^2} - {\pi ^2}}}{{32}}}}{a} = \frac{{7\left( {4{\gamma ^3} - \gamma {\pi ^2} + 8\zeta \left( 3 \right)} \right)}}{{48}}}






Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης