βραδυνό ολοκλήρωμα 66

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

βραδυνό ολοκλήρωμα 66

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Μαρ 04, 2010 10:54 pm

Να υπολογίσετε το
\displaystyle{I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right)dt} }


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Broly
Δημοσιεύσεις: 220
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 27, 2010 11:29 pm

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 66

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Broly » Πέμ Μαρ 04, 2010 11:26 pm

Έχουμε ότι:

I=\int_{0}^{\pi/2} 1+sintdt-\int_{0}^{\pi/2}1-sint dt=

[t-cost]_{0}^{\pi/2}-[t+cost]_{0}^{\pi/2}=

(\pi/2-cos\pi/2)-(0-cos0)-(0+cos\pi/2)+(0+cos0)=\pi/2+2


~Κώστας
Άβαταρ μέλους
Broly
Δημοσιεύσεις: 220
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 27, 2010 11:29 pm

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 66

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Broly » Πέμ Μαρ 04, 2010 11:43 pm

χαχαχα,αυτό να θεωρήσω τώρα ότι είναι σημάδι που λέει ότι πρέπει να
πάω για ύπνο?ή να συνεχίσω απτόηττος?
Πάω να πιω ένα καφεδάκι να στανιάρω λιγάκι και θα επιστρέψω σε λιγάκι δριμύτερος(με την ελένη φυσικά!)


~Κώστας
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 66

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Μαρ 04, 2010 11:46 pm

Broly έγραψε:χαχαχα,αυτό να θεωρήσω τώρα ότι είναι σημάδι που λέει ότι πρέπει να
πάω για ύπνο?ή να συνεχίσω απτόηττος?
Πάω να πιω ένα καφεδάκι να στανιάρω λιγάκι και θα επιστρέψω σε λιγάκι δριμύτερος(με την ελένη φυσικά!)
Ναι, λίγες ανάσες γιατί αρχίσανε τα μαγικά :)
Δες μέχρι που το έχω φτάσει για να συνεχίσεις (εάν συγκλίνει)...
\displaystyle{\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \frac{{1 - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - t} \right)}}{{1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - t} \right)}}dt}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{t}{2}} \right)dt\mathop  = \limits_{dt =  - dx}^{t = \frac{\pi }{2} - x} } }
\displaystyle{2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \tan \frac{x}{2}dt\mathop  = \limits_{dx = 2du}^{\frac{x}{2} = u} } 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \tan udt} }


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 66

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Μαρ 05, 2010 12:53 am

Στο τελευταίο ολοκλήρωμα εάν κάνουμε αλλαγή μεταβλητής tanu=k τότε έχουμε ολοκλήρωμα που ισούται με την σταθερά κάταλαν
Άρα έχουμε
\displaystyle{I = 4\int\limits_0^1 {\frac{{\ln k}}{{1 + {k^2}}}dx =  - 4Catalan} }

Η άσκηση είναι από τον lupu Cezar και είναι αναπάντητη από εκεί που την πήρα


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Broly
Δημοσιεύσεις: 220
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 27, 2010 11:29 pm

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 66

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Broly » Παρ Μαρ 05, 2010 1:46 am

Συγγνώμη φίλε mathxl,δεν το κοίταξα το ολοκλήρωμα, αλλά τώρα που γύρισα βλέπω ότι το έχεις ήδη
βγάλει το ολοκλήρωμα.Πολύ δύσκολο ολοκλήρωμα.Δεν νομίζω να μπορούσα να το είχα λύσει.
Συγχαρητήρια για την λύση :)


~Κώστας
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 66

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Μαρ 05, 2010 12:43 pm

Δεν υπάρχει λόγος να ζητάς συγνώμη. όταν είμαστε κουρασμένοι κάνουμε εύκολα το λάθος. Η ποιότητα του λάθους δείχνει ολοφάνερα ότι ήσουν ζαλισμένος (μπόλικη πνευματική εργασία...μάλλον έλυσες πολλές ασκήσεις χωρίς τα απαραίτητα διαλλείματα).
Το τελευταίο ολοκλήρωμα που έγραψα, θυμάμαι μου είχε μείνει από κάποια δημοσίευση εδώ ή στο μάθλινκσ ότι έχει να κ'άνει με την σταθερά του Μπαρτσελόνα
Περισσότερα για αυτήν την σταθερά εδώ http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης