Πωπω τριγωνομετρία που έχει αυτή η σειρά !!

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Πωπω τριγωνομετρία που έχει αυτή η σειρά !!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιουν 19, 2017 10:23 pm

Αποδείξατε ότι
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \arctan ( \sinh n) \arctan \left( \frac{\sinh 1}{\cosh n} \right) = \frac{\pi^2}{8}} ( H. Ohtsuka)


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Πωπω τριγωνομετρία που έχει αυτή η σειρά !!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Φεβ 22, 2020 12:12 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Ιουν 19, 2017 10:23 pm
Αποδείξατε ότι
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \arctan ( \sinh n) \arctan \left( \frac{\sinh 1}{\cosh n} \right) = \frac{\pi^2}{8}} ( H. Ohtsuka)

Θα δούμε ότι η σειρά είναι τηλεσκοπική. Πράγματι, παρατηρούμε ότι για μη αρνητικούς αριθμούς a, b έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\arctan \left ( \frac{\sinh a}{\cosh b} \right ) &= \arctan \left ( \frac{e^{a} - e^{-a}}{e^b + e^{-b}} \right ) \\  
 &=\arctan \left ( \frac{e^{-(b-a)} -e^{-(b+a)}}{1+e^{-2b}} \right ) \\  
 &= \arctan \left ( e^{-(b-a)} \right ) - \arctan \left ( e^{-(b+a)} \right ) 
\end{aligned}}
Άρα,

\displaystyle{\begin{matrix} 
\displaystyle \arctan \left ( \frac{\sinh 1}{\cosh n} \right )  &= &\arctan \left ( e^{-n+1} \right ) - \arctan \left ( e^{-n-1} \right ) & \\\\  
\arctan \left ( \sinh n \right ) & = & \arctan e^n - \arctan e^{-n} = \dfrac{\pi}{2} - 2\arctan e^{-n}  
\end{matrix}}
Μαζεύοντας τηλεσκοπικά τους όρους , έχουμε το ζητούμενο!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: jnp2172 και 1 επισκέπτης