Σελίδα 1 από 1

Πωπω τριγωνομετρία που έχει αυτή η σειρά !!

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 19, 2017 10:23 pm
από Tolaso J Kos
Αποδείξατε ότι
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \arctan ( \sinh n) \arctan \left( \frac{\sinh 1}{\cosh n} \right) = \frac{\pi^2}{8}} ( H. Ohtsuka)

Re: Πωπω τριγωνομετρία που έχει αυτή η σειρά !!

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 22, 2020 12:12 am
από Tolaso J Kos
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Ιουν 19, 2017 10:23 pm
Αποδείξατε ότι
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \arctan ( \sinh n) \arctan \left( \frac{\sinh 1}{\cosh n} \right) = \frac{\pi^2}{8}} ( H. Ohtsuka)

Θα δούμε ότι η σειρά είναι τηλεσκοπική. Πράγματι, παρατηρούμε ότι για μη αρνητικούς αριθμούς a, b έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\arctan \left ( \frac{\sinh a}{\cosh b} \right ) &= \arctan \left ( \frac{e^{a} - e^{-a}}{e^b + e^{-b}} \right ) \\  
 &=\arctan \left ( \frac{e^{-(b-a)} -e^{-(b+a)}}{1+e^{-2b}} \right ) \\  
 &= \arctan \left ( e^{-(b-a)} \right ) - \arctan \left ( e^{-(b+a)} \right ) 
\end{aligned}}
Άρα,

\displaystyle{\begin{matrix} 
\displaystyle \arctan \left ( \frac{\sinh 1}{\cosh n} \right )  &= &\arctan \left ( e^{-n+1} \right ) - \arctan \left ( e^{-n-1} \right ) & \\\\  
\arctan \left ( \sinh n \right ) & = & \arctan e^n - \arctan e^{-n} = \dfrac{\pi}{2} - 2\arctan e^{-n}  
\end{matrix}}
Μαζεύοντας τηλεσκοπικά τους όρους , έχουμε το ζητούμενο!